Calcul de la norme L∞ des systèmes linéaires de dimension finie
Auteur / Autrice : | Grace Younes |
Direction : | Fabrice Rouillier, Alban Quadrat |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 20/01/2022 |
Etablissement(s) : | Sorbonne université |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....) |
Jury : | Président / Présidente : Annick Valibouze |
Examinateurs / Examinatrices : Catherine Bonnet, Mioara Maria Joldes | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Bachelier, Laureano González-Vega |
Mots clés
Résumé
Dans cette thèse, nous étudions le problème du calcul de la norme L∞ des systèmes de dimension finie, linéaires et invariants dans le temps. Ce problème est ramené au calcul de la y-projection maximale des solutions réelles (x, y) d’un système d’équations polynomiales bivariées Σ = {P = 0, ∂P/∂x = 0}, où P ∈ Z[x, y]. Nous utilisons alors des méthodes classiques de calcul formel pour résoudre ce problème. En particulier, nous étudions alternativement une méthode basée sur des représentations univariées rationnelles, une méthode basée sur la séparation des racines, et enfin une méthode basée sur la variation de signes des coefficients dominants d’une suite signée de sous-résultants (suite de Sturm-Habicht) et l’identification d’un intervalle isolant pour la y-projection maximale des solutions réelles de Σ. Nous calculons ensuite la complexité binaire dans le pire des cas de chacune des méthodes proposées et nous comparons leur comportement théorique. Enfin, nous implémentons chacune des méthodes sous Maple et nous comparons leur comportement pratique (complexité moyenne). Une généralisation des algorithmes précédents au cas de polynômes P dépendants aussi de paramètres α = [α1, . . . , αd] ∈ Rd est finalement proposée. Pour cela, nous résolvons le problème en utilisant la notion de Décomposition Cylindrique Algébrique, classique en géométrie algébrique.