Study of control systems under quadratic nonholonomic constraints : motion planning, introduction to the regularised continuation method

par Timothée Schmoderer

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Witold Respondek et de Emmanuel Trélat.

Soutenue le 21-06-2022

à Normandie , dans le cadre de École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen) , en partenariat avec Institut national des sciences appliquées Rouen Normandie (Saint-Etienne-du-Rouvray ; 1985-....) (Établissement de préparation) et de Laboratoire de mathématiques de l'INSA Rouen Normandie (Saint Etienne du Rouvray, Seine-Maritime ; 1987-....) (laboratoire) .

Le président du jury était Hasnaa Zidani.

Le jury était composé de Witold Respondek, Emmanuel Trélat, Yacine Chitour, Frédéric Jean, Ugo Boscain, Jean-Baptiste Pomet.

Les rapporteurs étaient Yacine Chitour, Frédéric Jean.

mots clés

• Système non-linéaire de contrôle
• Contraintes non holonomes quadratiques
• Équivalence par bouclage
• Formes normales
• Algèbre de Lie des symétries infinitésimales
• Planification de trajectoires
• Méthode de continuation
• Régularisation de Tikhonov
• Systèmes non linéaires
• Théorie du contrôle
• Systèmes non-holonomes
• Formes quadratiques
• Lie, Algèbres de
• Géométrie infinitésimale
• Prolongement (mathématiques)
• Géométrie différentielle -- Simulation par ordinateur

Titre traduit

Étude des systèmes de contrôle sous contraintes non-holonomes quadratiques : planification de trajectoires, introduction à la méthode de continuation régularisée

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la théorie et aux applications du contrôle géométrique. La première partie de la thèse est dédiée au problème d'équivalence des sous-variétés du fibré tangent à des sous-variétés décrites par une équation quadratique (par rapport aux vitesses). Nous étudions ce problème par le biais de l’équivalence par bouclage des systèmes de contrôle (non-linéaire et affine). Ainsi, nous développons une théorie des systèmes de contrôle quadratiques. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions le problème de planification de trajectoire (PPT), c'est-à-dire l'étude d'algorithmes qui calculent des contrôles réalisant une certaine trajectoire cible. Nous proposons une régularisation de la méthode de continuation introduite par Chitour et Sussmann. Nous donnons une condition nécessaire pour que notre méthode régularisée converge vers une solution du PPT. Finalement, nous illustrons le potentiel de notre méthode à travers plusieurs exemples numériques.

mots clés

• Nonlinear control system
• Quadratic nonholonomic constraints
• Feedback equivalence
• Normal forms
• Lie algebra of infinitesimal symmetries
• Motion planning
• Continuation method
• Tikhonov regularisation

Résumé

In this thesis, we are interested in theoretical and applied geometric control theory. The first part of the thesis is dedicated to the problem of equivalence of submanifolds of the tangent bundled to submanifolds described by a quadratic equation (with respect to velocities). We study this problem with the help of feedback equivalence of control systems (non-linear and affine) and we develop a theory of quadratic control systems, in particulr, we provide normal forms. In the second part of the thesis, we study the motion planning problem (MPP), that is the study of algorithms that compute controls achieving a certain target path. We propose a regularisation of the continuation method introduced by Chitour and Sussmann. We give a necessary condition for our regularised method to converge to a solution of the motion planning problem. Finally, we illustrate the potential of our method through several numerical examples.