Sur différents problèmes de convergence en loi dans l'espace de Wiener

par Rola Zintout

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Ivan Nourdin.

Le président du jury était Giovanni Peccati.

Le jury était composé de Ivan Nourdin, Giovanni Peccati, Lluis Quer-Sardanyons, Marco Dozzi.

Les rapporteurs étaient Yaozhong Hu, Lluis Quer-Sardanyons.


  • Résumé

    La thèse porte sur l'approximation probabiliste dans un contexte fractionnaire, c'est-a-dire dans des modèles reliés d'une manière ou d'une autre au mouvement brownien fractionnaire. Le dénominateur commun de nos résultats est qu'ils proposent des conditions générales sous lesquelles une variable aléatoire de loi compliquée converge, en loi, vers une variable aléatoire de loi plus aisée. Et quand cela a été possible, nous avons aussi cherché à associer des vitesses de convergence. Les outils utilisés sont reliés a un domaine de recherche récent, appelé approche de Malliavin-Stein. En 2005, Nualart et Peccati ont découvert un théorème limite surprenant (qui porte aujourd'hui le nom de théorème du moment quatrième) pour les suites d'intégrales multiples de Wiener-Itô: pour de telles suites et après renormalisation, la convergence en loi vers la gaussienne standard se trouve être équivalente à la convergence du seul moment quatrième. Peu de temps après la publication de ce joli résultat, Peccati et Tudor l'ont étendu au cadre multivarié. Et, depuis, de nombreuses améliorations et nouveaux développements sont apparus dans la littérature, notamment un article de Nourdin et Peccati qui, pour la première fois, a combiné la méthode de Stein avec le calcul de Malliavin, offrant ainsi un cadre dans lequel il est maintenant possible d'associer une vitesse de convergence au théorème du moment quatrième. Nous nous intéressons dans cette thèse à la distance en variation totale entre les lois de deux intégrales doubles de Wiener-Itô. Nous améliorons des résultats antérieurs dus à Davydov et Martinova . Puis on étudie le comportement asymptotique des variations croisées d'un processus bidimensionnel ayant la forme d'une intégrale de Young. Finalement, on établit la convergence multivariée de certains processus de Volterra construits à partir du mouvement brownien fractionnaire.

  • Titre traduit

    On different problems of convergence in law in the Wiener space


  • Résumé

    The thesis deals with the probabilistic approximation in a fractional context, which means in models connected in one way or another to the fractional Brownian motion. The common denominator of our results is that they offer general conditions under which a random variable having a complicated law converges in law to a random variable with easier law. And when this was possible, we have also associated convergence rates. The tools are linked to a recent research field, called Malliavin-Stein approach. In 2005, Nualart and Peccati have discovered a surprising limit theorem (known as the fourth moment theorem) for series of multiple Wiener-Itô integrals: for such series and after renormalization, convergence in distribution to standard Gaussian happens to be equivalent to the convergence of the fourth moment only. Shortly after the publication of this nice result, Peccati and Tudor have extended it to the multivariate case. And since many improvements and new developments have appeared in the literature, including an article by Nourdin and Peccati which for the first time combined the method of Stein with the Malliavin calculus, providing a framework in which it is now possible to associate a rate of convergence to the fourth moment theorem. We focus in this thesis on the total variation distance between the laws of two double Wiener-Itô integrals. We improve a previous result of Davydov and Martinova. Then we study the asymptotic behavior of a two-dimensional cross-variation process that has the form of a Young integral. Finally, a multivariate convergence is established of some Volterra processes built from the fractional Brownian motion.


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