Stabilité des systèmes dynamiques non-réguliers, application aux robots marcheurs

Stability of nonsmooth dynamical systems, application to walking robots

• Auteur / Autrice : Sophie Chareyron
• Direction : Bernard Brogliato, Pierre-Brice Wieber
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique et productique
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Grenoble INPG

Résumé

Le cadre des systèmes dynamiques lagrangiens non-réguliers est issu de l'analyse des contacts non-permanents entre des solides parfaitement rigides. Il nous amène à travailler avec des outils mathématiques inhabituels en automatique, comme des vitesses à variations localement bornées, ou des équations différentielles de mesures. L'automatique de ces systèmes dynamiques commence tout juste à apparaître et les théories élémentaires, comme celle de la stabilité au sens de Lyapunov, nécessitent encore d'être établies. Dans ce travail nous proposons donc d'établir les premières bases permettant l'analyse de la stabilité des systèmes dynamiques non-réguliers. Nous montrons qu'il est possible, sous réserve parfois d'hypothèses supplémentaires, d'étendre certains résultats classiques. Nous proposons par exemple un théorème de stabilité au sens de Lyapunov et une extension du théorème de LaSalle pour des systèmes dynamiques décrits par des flots pouvant subir des discontinuités. Dans la cas des systèmes dynamiques lagrangiens non-réguliers, ces résultats de stabilité peuvent s'écrire sous la forme d'un théorème de Lagrange-Dirichlet, en montrant que leur énergie correspond naturellement à une fonction de Lyapunov. Ces résultats sont ensuite appliqués pour l'étude de la stabilité d'une régulation en position et en force d'un bras manipulateur et d'un robot marcheur sans aucune supposition sur l'état des contacts. Nous soulignons également l'intérêt des commandes basées sur la passivité pour les systèmes dynamiques lagrangiens non-réguliers

Originating in the analysis of non permanent contact between perfectly rigid bodies, the mathematical analysis of nonsmooth Lagrangian dynamical systems concerns Lagrangian dynamical systems with coordinates constrained to stay inside some closed sets, what leads to introduce mathematical tools which are unusual in control theory, velocities with locally bounded variations, measure accelerations, measure differential inclusions to name a few. The control theory for such dynamical systems is just beginning to appear and even the basic Lyapunov stability theory still needs to be stated. In this work we thus propose to establish some first bases for the Lyapunov stability analysis of the nonsmooth dynamical systems. We will see that it is possible, provided some additional assumptions, to extend some classical results. We will propose for example a Lyapunov stability theorem and an extension of the LaSalle theorem for dynamical systems described by flows which can undergo discontinuities. Building on these theorems, we then propose a Lagrange-Dirichlet theorem for nonsmooth Lagrangian dynamical systems by showing that their energy can be naturally taken as Lyapunov functions. Based on these results we are then able to prove the stability of simple control laws for the position and force regulation of a robotic manipulator and a walking robot without any assumptions on the state of the contacts. We will also underline the interest of a passivity based control law for nonsmooth lagrangian dynamical systems.