Contributions à l’inférence non-paramétrique pour des processus de Lévy à activité de saut infinie

Contributions to non-parametric inference for Lévy processes with infinite jump activity

• Auteur / Autrice : Taher Jalal
• Direction : Ester Mariucci, Céline Duval
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 19/06/2025
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Versailles
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Cristina Butucea
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cristina Butucea, Cecilia Mancini, Ronan Le Guével, Emmanuel Rio, Sergueï Dachian
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cecilia Mancini, Ronan Le Guével
• DOI : 10.70675/d8eac92ezc3c2z4849zb5eez5eab99593e43

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus de Lévy

Statistique non paramétrique

Déconvolutions

Mots clés libres

Processus de Lévy

Estimation non-Paramétrique

Vitesses de convergence minimax

Distributions stables

Petits sauts

Lévy processes

Non-Parametric estimation

Minimax convergence rates

Stable distributions

Small jumps

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les processus de Lévy à activité de saut infinie. Le théorème fondamental de Lévy-Itô fournit une décomposition de ces processus en trois composantes distinctes : un terme de diffusion correspondant à la partie Brownienne, un terme représentant les grands sauts et enfin un terme décrivant les petits sauts. Cette décomposition permet d'analyser séparément les différentes sources d'aléa qui interviennent dans l'évolution du processus. Dans cette thèse, nous nous sommes particulièrement intéressés à l'estimation, dans un cadre non-paramétrique, de la densité des accroissements du processus, ainsi qu'à celle associée aux accroissements des petits sauts. Nous avons construit des estimateurs spectraux pour lesquels nous avons établi les vitesses de convergence. De plus, nous avons démontré des résultats d'optimalité au sens minimax. Ces résultats ont été obtenus dans des contextes variés, incluant des observations en basse et en haute fréquence, ainsi qu'en présence ou non d'un terme Brownien. Nous avons également construit des estimateurs adaptatifs. Afin d'illustrer concrètement nos différentes procédures d'estimation, nous avons mené des étudesnumériques sur des classes spécifiques de processus de Lévy à activité infinie : les processus de Lévy alpha-stables et les processus tempérés stables.

In this thesis, we are interested in Lévy processes with infinite jump activity. The fundamental theorem of Lévy-Itô provides a decomposition of these processes into three distinct components: a diffusion term corresponding to the Brownian part, a term representing the large jumps, and finally a term describing the small jumps. This decomposition allows us to analyse separately the different sources of randomness involved in the evolution of the process. In this thesis, we were particularly interested in estimating, in a non-parametric framework, the density of the increments of the wholeprocess, as well as those associated with the increments of the small jumps. We have constructed spectral estimators for which we have established convergence rates. In addition, we have reached minimax optimality results. These results have been obtained in a variety of contexts, including low- and high-frequency observations, and in the presence or absence of a Brownian term. We also have constructed adaptive estimators. In order to illustrate our different estimation procedures in concrete terms, we carried out numerical studies on specific classes of Lévy processes: alpha-stable and temperate stable Lévy processes.