Particules run-and-tumble en interaction comme processus de Markov déterministes par morceaux : mesure invariante et convergence

Interacting run-and-tumble particles as piecewise deterministic Markov processes : invariant distribution and convergence

• Auteur / Autrice : Léo Hahn
• Direction : Arnaud Guillin, Manon Michel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 17/09/2024
• Etablissement(s) : Université Clermont Auvergne (2021-...)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal (Aubière ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Marielle Simon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Richard Blythe, Thierry Bodineau, Jonathan Mattingly
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Florent Malrieu, Grigorios A. Pavliotis
• DOI : 10.70675/9a8e0cedzf65cz44b1za7bfz567b73037180

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus de Markov

Mesures invariantes

Mots clés libres

Processus de Markov déterministes par morceaux

Mesure invariante de processus de Markov

Particules run-And-Tumble

Convergence de processus de Markov

Piecewise deterministic Markov processes

Invariant distribution of Markov processes

Run-And-Tumble particles

Convergence of Markov processes

Résumé

Cette thèse étudie le comportement en temps long des particules run-and-tumble (RTPs), un modèle pour les bactéries en physique statistique hors équilibre, en utilisant des processus de Markov déterministes par morceaux (PDMPs). La motivation est d'améliorer la compréhension au niveau particulaire des phénomènes actifs, en particulier la séparation de phase induite par la motilité (MIPS). La mesure invariante pour deux RTPs avec jamming sur un tore 1D est déterminée pour mécanismes de tumble et jamming généraux, révélant deux classes d'universalité hors équilibre. De plus, la dépendance du temps de mélange en fonction des paramètres du modèle est déterminée en utilisant des techniques de couplage et le modèle continu PDMP est rigoureusement relié à un modèle sur réseau connu. Dans le cas de deux RTPs avec jamming sur la droite réelle et interagissant à travers un potentiel attractif, la mesure invariante présente des différences qualitatives en fonction des paramètres du modèle, rappelant des transitions de forme et des classes d'universalité. Des taux de convergence fins sont à nouveau obtenus par des techniques de couplage. Par ailleurs, la mesure invariante explicite de trois RTPs se bloquant sur le tore 1D est calculée. Enfin, les résultats de convergence hypocoercive sont étendus aux RTPs, obtenant ainsi des taux de convergence \( L^2 \) fins dans un cadre général qui couvre également les PDMPs utilisés pour l'échantillonnage et Langevin cinétique.

This thesis investigates the long-time behavior of run-and-tumble particles (RTPs), a model for bacteria's moves and interactions in out-of-equilibrium statistical mechanics, using piecewise deterministic Markov processes (PDMPs). The motivation is to improve the particle-level understanding of active phenomena, in particular motility induced phase separation (MIPS). The invariant measure for two jamming RTPs on a 1D torus is determined for general tumbling and jamming, revealing two out-of-equilibrium universality classes. Furthermore, the dependence of the mixing time on model parameters is established using coupling techniques and the continuous PDMP model is rigorously linked to a known on-lattice model. In the case of two jamming RTPs on the real line interacting through an attractive potential, the invariant measure displays qualitative differences based on model parameters, reminiscent of shape transitions and universality classes. Sharp quantitative convergence bounds are again obtained through coupling techniques. Additionally, the explicit invariant measure of three jamming RTPs on the 1D torus is computed. Finally, hypocoercive convergence results are extended to RTPs, achieving sharp \( L^2 \) convergence rates in a general setting that also covers kinetic Langevin and sampling PDMPs.