Sur l'existence des équations différentielles stochastiques de type McKean-Vlasov avec drift dépendante de la densité

Well-posedness of McKean-Vlasov Stochastic Differential Equations with Density-dependent Drift

• Auteur / Autrice : Anh Dung Le
• Direction : Sébastien Gadat, Stéphane Villeneuve
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 13/12/2024
• Etablissement(s) : Université Toulouse Capitole
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : TSE-R (Toulouse)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Apprentissage automatique

Mots clés libres

EDS de McKean-Vlasov

EDS dépendantes de la densité

Intégrabilité locale

Transport optimal

McKean-Vlasov SDEs

Density-Dependent SDEs

Local integrability

Optimal transport

Résumé

Les données complexes, notamment textuelles, représentent une source d'information qui posent pourtant d'innombrables questions quand à leur exploitation en apprentissage machine et en statistiques. Au delà de la simplicité scolaire d'une source d'information générant un nombre n de vecteurs de Rd indépendants et identiquement distribués et où les procédures statistiques pour résoudre des problèmes de régression ou classification sont désormais bien comprises en intelligence artificielle, il en est tout autre lorsque les données sont structurées sur des espaces non-plats, telles que les images, les graphes ou encore les textes, données posant alors d'innombrables challenge en apprentissage statistique et intelligence artificielle. Ces difficultés sont généralement de deux natures assez différentes. La première difficulté « origi- nelle », revêt de la modélisation mathématiques et des propriétés de statistique théorique que possèdent les « estimateurs » construits pour résoudre les modèles mathématiques étudiés. La seconde source de difficulté provient alors des problèmes algorithmiques posés par le « calcul » des estimateurs proposés par le statisticien. L'objectif de cette thèse est d'étudier à la fois la problématique statistique et algo- rithmique pour des problèmes relatifs à la classification supervisée et à la régression à partir de données textuelles.

Complex data, especially textual data, represent a source of information that nevertheless raises countless questions regarding their exploitation in machine learning and statistics. Beyond the academic simplicity of an information source generating a number n of independent and identically distributed vectors of Rd and where statistical procedures to solve regression or classification problems are now well understood in artificial intelligence, it is quite different when the data are structured on non-flat spaces, such as images, graphs or texts, data posing then innumerable challenges in statistical learning and artificial intelligence. These challenges are generally of two quite different natures. The first 'original' difficulty comes from the mathematical modeling and the theoretical statistical properties of the 'estimators' built to solve the mathematical models studied. The second source of difficulty comes from the algorithmic problems posed by the 'calculation' of the estimators proposed by the statistician. The objective of this thesis is to study both the statistical and algo- rithmetic problems for problems related to supervised classification and regression from textual data.