Stabilisation de systèmes hyperboliques non-linéaires en dimension un d’espace

Stabilization of 1D nonlinear hyperbolic systems by boundary controls

• Auteur / Autrice : Amaury Hayat
• Direction : Jean-Michel Coron
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 16/05/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Benoît Perthame
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Karine Beauchard, Sébastien Boyaval, Eric Cancès, Yacine Chitour
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Girard, Günter Leugering
• DOI : 10.70675/3cc36187z7dfaz429bzab0azd233a822d6b3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Fonctions de Liapounov

Systèmes hyperboliques

Mots clés libres

Stabilisation

Équations aux dérivées partielles

Inhomogénéités

Fonctions de Lyapunov

Entropie

Contrôle aux bords

Équations de Saint-Venant

Contrôle PI

Stabilization

Partial differential equations

Inhomogeneous

Lyapunov functions

Entropy

Boundary feedback control

Saint-Venant equations

PI control

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilisation des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques non-linéaires. L'objectif principal est de trouver des conditions de bords garantissant la stabilité exponentielle du système. Dans une première partie on s'intéresse à des systèmes généraux qu'on cherche à stabiliser en norme C^1 en introduisant un certain type de fonctions de Lyapunov, puis on regarde plus précisément les systèmes de deux équations pour lesquels on peut comparer nos résultats avec la stabilisation en norme H^{2}. On s'intéresse ensuite à quelques équations physiques: l'équation de Burgers et les systèmes densité-vélocité, dont font partie les équations de Saint-Venant et les équations d'Euler isentropiques. A l'aide d'une entropie locale dissipative, on montre qu'on peut stabiliser les systèmes densité-vélocité par des contrôles aux bords simples et, étonnement, ces contrôles ne dépendent pas explicitement des paramètres du système, pourvu qu'ils soient physiquement admissibles. Par ailleurs, on développe une méthode pour stabiliser les états-stationnaires avec un choc dans le cas de l'équation de Burgers et des équations de Saint-Venant. Enfin, dans une troisième partie on s'intéresse aux contrôles proportionnels-intégraux (PI), très utilisés en pratique mais mal compris mathématiquement dans le cas des systèmes non-linéaires de dimension infinie. Pour les systèmes d'une seule équation on introduit une méthode d'extraction pour trouver des conditions optimales de stabilité sur les paramètres du contrôle. Finalement on traite le cas des équations de Saint-Venant avec un unique contrôle PI.

This thesis is devoted to study the stabilization of nonlinear hyperbolic systems of partial differential equations. The main goal is to find boundary conditions ensuring the exponential stability of the system. In a first part, we study general systems that we aim at stabilizing in the C^1 norm by introducing a certain type of Lyapunov functions. Then we take a closer look at systems of two equations and we compare the results with the stabilization in the H^2 norm. In a second part we study a few physical equations: Burgers' equation and the density-velocity systems, which include the Saint-Venant equations and the Euler isentropic equations. Using a local dissipative entropy, we show that these systems can be stabilized with very simple boundary controls which, remarkably, do not depend directly on the parameters of the system, provided some physical admissibility condition. Besides, we develop a way to stabilize shock steady-states in the case of Burgers' and Saint-Venant equations. Finally, in a third part, we study proportional-integral (PI) controllers, which are very popular in practice but seldom understood mathematically for nonlinear infinite dimensional systems. For scalar systems we introduce an extraction method to find optimal conditions on the parameters of the controller ensuring the stability. Finally, we deal with the Saint-Venant equations with a single PI control.