Discrétisation des systèmes de Lur'e : stabilisation et consistance

Discretization of Lur’e systems : stabilization and consistency

• Auteur / Autrice : Julien Louis
• Direction : Jamal Daafouz, Marc Jungers
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique, Traitement du Signal et des Images, Génie Informatique
• Date : Soutenance le 27/08/2015
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en automatique (Nancy)
• Jury : Président / Présidente : Hisham Abou-Kandil
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Chevrel, Hervé Guéguen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Stabilité

Systèmes non linéaires

Liapounov, Fonctions de

Systèmes échantillonnés

Mots clés libres

Système de Lur’e

Système de Lur’e à données échantillonnées

Échantillonnage non-Uniforme

Discrétisation d’Euler

Consistance pour un système de Lur’e commuté

Lur’e system

Sampled-Data Lur’e system

Non-Uniform sampling

Euler discretization

Consistency for a switched Lur’e system

Résumé

De récents résultats sur l’étude des systèmes de Lur’e (commutés) à temps discret mettent en avant une fonction de Lyapunov de type Lur’e avancée, dont les lignes de niveau peuvent être non convexes et non connexes. Celles-ci soulèvent de larges questions pour les systèmes de Lur’e à temps discret obtenus par la discrétisation d’un système continu. Les contributions de cette thèse sont d’apporter des éléments de réponse à ces questions. Tout d’abord, le verrou des lignes de niveau non-connexes est levé en construisant à partir de celles-ci une suite décroissante d’ensembles connexes et bornés qui converge vers l’origine et qui contient le futur de la trajectoire à temps continu. Dans un second temps, le problème de la stabilisation conjointe d’un système de Lur’e à données échantillonnées avec un échantillonnage non-uniforme est traité. Quand la période d’échantillonnage est à choisir parmi un nombre fini de valeurs, il est montré que ce problème se traduit comme la stabilisation conjointe d’un système commuté de Lur’e avec des incertitudes bornées en norme. En associant de plus à chaque mode un critère quadratique, une stratégie de type min-switching permet de résoudre cette question à l’aide d’un problème d’optimisation sous contraintes LMI. Enfin, les propriétés de la stratégie de min-switching pour les systèmes de Lur’e commutés à temps discret sont étudiées. Une extension de la notion de consistance permet de prouver que cette stratégie est consistante vis-à-vis de majorants quadratiques modaux du critère de performance et ainsi de garantir l’intérêt de la stratégie d’échantillonnage non-uniforme développée

Recent studies dealing with discrete-time (switched) Lur’e systems involve an adapted Lur’e type function exhibiting possibly non-convex and disconnected level sets. These properties raise fundamental issues in the case of discrete-time Lur’e system obtained by the sampling of a continuous time one. This PhD thesis aims at answering these questions. The first contribution is to avoid the discrete-time disconnected level sets by a decreasing sequence of bounded and connected sets that converges to the origin and that contain the future of the continuous-time trajectory. The second contribution deals with the joint stabilization of a sampled-data Lur’e system with non-uniform sampling. When the sampling period belongs to a finite set of values, this problem is reformulated as the joint stabilization of a discrete-time Lur’e switched system with norm-bounded uncertain parameters. Futhermore, if a quadratic criterion is associated with each mode, a min-switching strategy combined with LMI constraints allow to provide a solution to this problem. Finally the property of consistency for discrete-time switched Lur’e systems is investigated. It is shown that the min-switching strategy is consistent with respect to quadratic upper bounds of the performances. This result is applied on the stabilization of Lur’e systems with non-uniform sampling.