Des métriques ricci-plates complètes et des espaces asymptotiques localement plats en dimension supérieure

Higher Dimensional Complete Ricci-flat Metrics and Asymptotically Locally Flat Spaces

• Auteur / Autrice : Daheng Min
• Direction : Olivier Biquard, Hans-Joachim Hein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/07/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Eveline Legendre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eleonora Di Nezza, Alix Deruelle
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gilles Carron, Vestislav Apostolov
• DOI : 10.70675/fc43c083zdaa3z4a10za719z4408c596183c

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie différentielle

Espaces métriques

Structures kählériennes

Variétés de Calabi-Yau

Coniques

Mots clés libres

Métriques

Ricci-plates

ALF

Metrics

Ricci-Flat

ALF

Résumé

En termes généraux, une métrique ALF de dimension réelle 2n devrait être une métrique complète telle que son cône asymptotique soit de dimension 2n−1, la croissance de volume de cette métrique soit de l'ordre de 2n−1, et sa courbure sectionnelle tende vers 0 à l'infini. Plus précisément, dans cette thèse, une métrique ALF de dimension réelle 2n a un cône métrique de dimension 2n−1 comme cône asymptotique,elle a une croissance de volume de l'ordre de 2n − 1 et sa courbure sectionnelle est bornée par C/ρ où ρ est la distance à partir d'un point mesurée par la métrique riemannienne. Étant donné que les métriques ALF Calabi-Yau de dimension 4 ont été bien étudiées, l'objectif de la thèse est de trouver des exemples de métriques ALF Calabi-Yau dedimensions supérieures, ici par dimensions supérieures nous entendons que la dimension réelle de l'espace est supérieure à 4.Dans la thèse, je montrerai d'abord que la déformation de Taub-NUT d'un cône hyperkählerien par rapport à une S^1-symétrie localement libre est hyperkählerienne ALF. Modélisée sur cette métrique à l'infini, je montrerai l'existence de métriques ALF Calabi-Yau sur certaines résolutions crepantes. En particulier, je montrerai qu'il existe des métriques ALF Calabi-Yau sur les fibrés canoniques des variétés de contact de Fano homogènes classiques. Ensuite, je prouverai qu'une classe spéciale de métrique Calabi-Yau complète sur Cn construite par Apostolov et Cifarelli est ALF avec cône asymptotique (C^n−1/Z_n−1) × R. Modélisée sur ces métriques à l'infini, je montrerai alors l'existence de métriques ALF Calabi-Yau sur les résolutions crepantes de C^n.

Roughly speaking, an ALF metric of real dimension 2n should bea complete metric such that its asymptotic cone is 2n−1 dimensional, the volume growth of this metric is of order 2n − 1 and its sectional curvature tends to 0 at infinity. More precisely, in this thesis, an ALF metric of real dimension 2n has a 2n−1 dimensional metric cone as its asymptotic cone, it has volume growth of order 2n−1 and its sectional curvature is bounded by C/ρ where ρ is the distance from a point of it measured by the Riemannian metric. Since 4 dimensional ALF Calabi-Yau metrics have been well studied, the object of the thesis is to find example of higher dimensional ALF Calabi-Yau metrics, here by higher dimensional we mean the real dimension of the space is greater than 4. In the thesis, I will first show that the Taub-NUT deformation of a hyperkähler cone with respect to a locally free S^1-symmetry is ALF hyperkähler. Modelled on this metric at infinity, I will show the existence of ALF Calabi-Yau metric on certain crepant resolutions. Inparticular, I will show that there exist ALF Calabi-Yau metrics on canonical bundles of classical homogeneous Fano contact manifolds. Then I will prove that a special class of complete Calabi-Yau metric on Cn constructed by Apostolov and Cifarelli is ALF with asymptotic cone (C^n−1/Z_n−1)×R. Modelled on these metrics at infinity, I will then show the existence of ALF Calabi-Yau metric on crepant resolutions of C^n.