Non-linéarité, fractales, décroissance de Fourier - analyse harmonique des états d'équilibres de systemes dynamiques hyperboliques

Nonlinearity, fractals, Fourier decay - harmonic analysis of equilibrium states for hyperbolic dynamical systems

• Auteur / Autrice : Gaétan Leclerc
• Direction : Frédéric Naud
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/11/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Gabriel Rivière
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Romain Dujardin, Thibault Lefeuvre, Yves Coudène, Colin Guillarmou
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tuomas Sahlsten, Sébastien Gouëzel
• DOI : 10.70675/9903d212z871cz4a57z8680z63f733691215

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques hyperboliques

Opérateurs de transfert

Formalisme (mathématiques)

Transformations de Fourier

Analyse harmonique (mathématiques)

Mots clés libres

Analyse harmonique

Opérateur de transfert

Systeme dynamiques hyperboliques

Théorie ergodique

Formalisme thermodynamique

Transformée de Fourier

Harmonic analysis

Transfer operator

Hyperbolic dynamical systems

Ergodic theory

Thermodynamical formalism

Fourier transform

Résumé

Ce doctorat se situe à l'intersection entre le domaine de la géométrie fractale et des systèmes dynamique hyperbolique. Étant donné un système dynamique hyperbolique dans un espace euclidien (de petite dimension), considérons un sous-ensemble fractal compact invariant, ainsi qu'une mesure de probabilité invariante supportée sur cet ensemble fractal, avec de bonnes propriétés statistiques, telle que la mesure d'entropie maximale. La question est la suivante : la transformée de Fourier de la mesure tends elle vers zéro a la vitesse d'une puissance de xi ? Notre objectif principal est de montrer que, pour plusieurs familles de systèmes dynamiques hyperboliques, la non-linéarité de la dynamique suffit à démontrer de tels résultats de décroissance. Ces énoncés seront obtenus en utilisant un outil puissant du domaine de la combinatoire additive : le phénomène de somme-produit.

This PhD lies at the intersection between fractal geometry and hyperbolic dynamics. Being given a (low dimensional) hyperbolic dynamical system in some euclidean space, let us consider a fractal compact invariant subset, and an invariant probability measure supported on this fractal set with good statistical properties, such as the measure of maximal entropy. The question is the following: does the Fourier transform of the measure exhibit power decay ? Our main goal is to give evidence, for several families of hyperbolic dynamical systems, that nonlinearity of the dynamics is enough to prove such decay results. These statements will be obtained using a powerful tool from the field of additive combinatorics: the sum-product phenomenon.