Transformée de Cartier pour les schémas logarithmiques en caractéristique p

Cartier transform for logarithmic schemes in positive characteristic

• Auteur / Autrice : Sami Fersi
• Direction : Ahmed Abbes
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/11/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut des hautes études scientifiques
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Transformée de Cartier

Schéma logarithmique

Géométrie algébrique

Cartier transform

Logarithmic scheme

Algebraic geometry

Résumé

Deligne et Illusie ont montré dans un article publié en 1987 que pour un schéma lisse X sur un corps parfait k de caractéristique p, si nous notons F le Frobenius relatif alors un relèvement lisse de X au dessus de l'anneau des vecteurs de Witt de longueur 2 à coefficients dans k détermine un isomorphisme dans la catégorie dérivée D(X') des modules sur X': $$bigoplus_{i<p}Omega^i_{X'|k}[-i]xrightarrow{sim}tau_{<p}F_*Omega^{bullet}_{X|S}$$ qui induit l'isomorphisme de Cartier sur les cohomologies. Ogus et Vologodsky ont montré une variante catégorique qu'ils ont appelé Tranformée de Cartier. Ils ont associé à chaque relèvement lisse de X au dessus de l'anneau des vecteurs de Witt de longueur 2 sur k une équivalence entre la catégorie des modules à connexion intégrable sur X/k et la catégorie des modules de Higgs sur X'/k. L'objectif principal de la thèse est de généraliser la transformée de Cartier aux schémas logarithmiques en se basant sur une construction de la transformée de Cartier développée par Oyama et Xu.

Deligne and Illusie proved in an article they published in 1987 that for a smooth scheme X over a perfect field k of charactersitic p, if we denote by F the relative Frobenius then any smooth lifting of X over the ring of Witt vectors of length 2 over k determines an isomorphism in the derived category D(X')} of modules over X': $$bigoplus_{i<p}Omega^i_{X'|k}[-i]xrightarrow{sim}tau_{<p}F_*Omega^{bullet}_{X|S}$$ that induces the Cartier isomorphism on cohomologies. Ogus and Vologodsky proved a categorical version called the Cartier Transform. More precisely, they proved that every smooth lifting of X over the ring of Witt vectors of length 2 over k defines an equivalence of categories between the category of modules with integrable connection on X/k and the category of Higgs modules on X'/k. The main goal of this thesis is to generalise the Cartier Transform to logarithmic schemes. This generalisation will be based on a construction of the Cartier Transform developed by Oyama and Xu.