L'hypothèse de Riemann pour fonctions zétas de rang supérieur associées aux courbes

The Riemann hypothesis for higher rank zeta functions associated to curves

• Auteur / Autrice : Jiangfan Yuan
• Direction : Olivier Schiffmann
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Arithmétique et géométrie algébrique
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Fonctions zétas

Algèbres de Hall

Théorie des représentations géométrique

Zeta functions

Hall algebras

Geometric representation theory

Résumé

Soit X une courbe projective lisse géométriquement connexe définie sur un corps fini F q , L'objectif de ce projet de thèse est d'étudier une famille de fonctions zéta associées à X, dites de rang supérieur. Elles ont été introduites il y a une dizaine d'années et étudiées depuis par Lin Weng, qui fait une conjecture ‘de Riemann' sur les zéros de ces fonctions zéta. Ce résultat, et d'autres, a été démontré pour certains cas (genre g = 1 et rang r = 2, 3) soit par des méthodes de calcul direct, soit en utilisant la méthode dite de 'wall-crossing' dans la théorie des invariants Donaldson-Thomas. Le premier but de ce projet est de fournir une autre démonstration, bien plus directe, de ces résultats, basée sur la théorie des séries d'Eisenstein tronquées. L'étude des séries d'Eisenstein sur les corps de fonctions pour les groupes GL r suggère une autre approche (via les algèbres de Hall qui ressemblent par de nombreux aspects a` des groupes quantiques). L'objectif est donc de comprendre du point de vue de la théorie des représentations les conjectures de Lin, de formuler un analogue de ces conjectures pour d'autres groupes quantiques de dimension infinie définis comme des algèbres de Hall, en espérant démontrer d'autres cas de la conjecture de Riemann de Lin.

Let X be a geometrically connected smooth projective curve defined over finite field F q , the topic of this PhD project is to study a certain kind of zeta functions associated to X, called the higher rank zeta functions. Lin Weng formulated a ‘Riemann conjecture' concerning the zeros of such zeta functions, which has been proved for certain cases (genus 1 or lower rank r = 2, 3) either by direct calculation or by using the method of ‘wall-crossing' in the DonaldsonThomas invariant theory. The first goal of this project is to recover the results with a more direct proof, based on the theory of truncated Eisenstein series. Further, the study of Eisenstein series for the groups GL r suggests an another approach, namely the Hall algebras, which behave like quantum groups. The aim is thus to take representation theory into consideration and to give analogs of the conjecture for other quantum groups of infinite dimension, and perhaps to prove more cases of Lin's Riemann hypothesis.