Dynamique des systèmes hamiltoniens stochastiques, intégrateurs variationnels et diffusion d'Arnold.

Dynamics of stochastic Hamiltonian systems, variational integrators and Arnold diffusion

• Auteur / Autrice : Rouba Safi
• Direction : Jacky Cresson, Mustapha Jazar
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 06/05/2021
• Etablissement(s) : Pau en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences Exactes et leurs Applications
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau

Mots clés

Mots clés libres

Systèmes Hamiltoniens

Diffusion d'Arnold

Intégrateurs variationnels

Intégration symplectic

Plongement discret

Hamiltonien squelette

Hamiltonian systems

Arnold diffusion

Variational integrators.

Symplectic integration

Discrete embedding

Skeleton Hamiltonian

Résumé

Les systèmes hamiltoniens stochastiques ont été introduit par J-M. Bismut en 1981 dans son livre "mécanique aléatoire". Il pose les fondements de la mécanique stochastique telle qu'initiée par E. Nelson en 1966. Par ailleurs, le problème fondamental de la dynamique de H. Poincaré est celui de l'étude des perturbations déterministes des systèmes hamiltoniens intégrable. En suivant les idées de D. Mumford, on étudie les perturbations stochastiques des systèmes hamiltoniens intégrables. Le problème est de préciser les différences au niveau dynamique entre une perturbation de nature déterministe et une autre de nature stochastique. Un exemple est donné par le phénomène dit de la diffusion d'Arnold initiée par V.I. Arnold en 1964. Il conjecture qu'une instabilité globale doit se développer sur un temps exponentiellement long le long du réseau de résonnances. Le mécanisme initial introduit par V.I. Arnold se heurte à des difficultés majeures. Dans cette thèse, nous étudions numériquement le comportement de la diffusion d'Arnold dans le cadre stochastique pour la famille des hamiltoniens dits "squelettes" introduits par G. Zaslavski dans son livre "Hamiltonian Chaos and fractional dynamics" en 2005. Nous donnons à cette occasion une construction nouvelle des intégrateurs variationnels tels qu'introduits par J.E. Marsden et ses collaborateurs pour les systèmes hamiltoniens déterministes ou stochastiques. La thèse se compose de trois parties. La première donne une présentation alternative des intégrateurs variationnels tels qu'introduits par J.E. Marsden et M. West pour les systèmes hamiltoniens déterministes. Elle est basée sur les théories de plongement discrets. Ces théories reposent sur la mise en place de calcul différentiels et intégrales discrets d'un ordre d'approximation donné ainsi que sur l'extension du calcul des variations pour les fonctionnelles discrètes associées définis dans cette thèse. Nous donnons une comparaison complète entre les résultats obtenus par cette approche et la formulation classique de Marsden-West et Wendlandt dans le cas des intégrateurs variationnels déterministes d'ordre 1 et 2. La seconde partie développe des intégrateurs variationnels stochastiques. Deux approches sont proposées. La première repose sur une approximation de type Wong-Zakai des diffusions stochastiques et les intégrateurs variationnels construits dans la partie précédente. On obtient ainsi une formulation rigoureuse des intégrateurs discutés par L. Wang, J. Hong, R. Scherer et F. Bai en 2009. Une seconde approche repose sur une discrétisation directe du principe variationnel stochastique obtenu par J-M. Bismut pour les diffusions hamiltoniennes en utilisant une discrétisation des intégrales de Stratonovich. On généralise ainsi un premier travail dû à N. Bou-Rabee et H. Owhadi en 2008 lorsque les perturbations stochastiques dépendent seulement de l'espace des configurations. Dans la dernière partie, on étudie analytiquement et numériquement la structure des réseaux d'Arnold pour les systèmes hamiltoniens "squelettes". On démontre que le réseau d'Arnold couvre l'espace des phases et est connexe seulement pour les hamiltoniens squelettes d'ordre 3,4 et 6 et possède une symétrie cristallographique. On compare ensuite numériquement la diffusion d'Arnold lorsqu'une perturbation est considérée comme déterministe ou stochastique. Dans le cas déterministe, on observe que la diffusion est limitée en espace et très lente en temps comme attendu par le théorème de N. Nekhoroshev. Dans le cas stochastique, la diffusion couvre un domaine beaucoup plus large de l'espace des phases et se développe plus rapidement.

Stochastic Hamiltonian systems were introduced by J-M. Bismut in 1981 in his book "Random Mechanics." He laid the foundations for stochastic mechanics as initiated by E. Nelson in 1966. Additionally, the fundamental problem of dynamics of H. Poincaré is the study of deterministic perturbations of integrable Hamiltonian systems. Following the ideas of D. Mumford, stochastic perturbations of integrable Hamiltonian systems are studied. The problem is to specify the dynamical differences between a deterministic perturbation and a stochastic one. An example is provided by the phenomenon known as Arnold diffusion initiated by V.I. Arnold in 1964. He conjectured that global instability should develop over an exponentially long time along the resonance web. The initial mechanism introduced by V.I. Arnold encountered major difficulties. In this thesis, we numerically study the behavior of Arnold diffusion in the stochastic framework for the family of Hamiltonians known as "skeletons," introduced by G. Zaslavski in his book "Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics" in 2005. On this occasion, we provide a new construction of variational integrators as introduced by J.E. Marsden and his collaborators for deterministic or stochastic Hamiltonian systems. The thesis consists of three parts. The first part offers an alternative presentation of variational integrators as introduced by J.E. Marsden and M. West for deterministic Hamiltonian systems. It is based on discrete embedding theories, relying on the establishment of discrete differential and integral calculus of a given approximation order, as well as the extension of the calculus of variations to discrete functionals defined in this thesis. We provide a comprehensive comparison between the results obtained through this approach and the classical formulation by Marsden-West and Wendlandt for first and second-order deterministic variational integrators. The second part develops stochastic variational integrators. Two approaches are proposed. The first is based on a Wong-Zakai type approximation of stochastic diffusions and the variational integrators constructed in the previous part. This provides a rigorous formulation of the integrators discussed by L. Wang, J. Hong, R. Scherer, and F. Bai in 2009. The second approach is based on a direct discretization of the stochastic variational principle obtained by J-M. Bismut for Hamiltonian diffusions using a discretization of Stratonovich integrals. This generalizes previous work by N. Bou-Rabee and H. Owhadi in 2008 when stochastic perturbations depend only on the configuration space. In the final part, we analytically and numerically study the structure of Arnold web for "skeleton" Hamiltonian systems. We demonstrate that the Arnold web covers the phase space and is connected only for skeleton Hamiltonians of order 3, 4, and 6 and possesses a crystallographic symmetry. We then numerically compare Arnold diffusion when a perturbation is considered deterministic or stochastic. In the deterministic case, we observe that diffusion is confined in space and very slow in time, as expected by N. Nekhoroshev's theorem. In the stochastic case, diffusion covers a much larger domain in phase space and develops more rapidly.