Une stratégie de réduction d'ordre de modèle pour les EDP paramétrées : un nouveau paradigme pour l'imagerie souterraine efficace.

A Model Order Reduction Strategy for Parametrized PDEs: A New Paradigm for Efficient Subsurface Imaging.

• Auteur / Autrice : Julien Besset
• Direction : Helene Barucq
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2025
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences Exactes et leurs Applications
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau
• Jury : Président / Présidente : Mejdi Azaiez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hélène Barucq, Stéphane Lanteri, Christophe Prud'homme, Rabia Djellouli, Stefano Frambati, Henri Calandra, Emmanuel Franck
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stéphane Lanteri, Christophe Prud'homme

Mots clés

Mots clés libres

Développement

Sismique

Ondes

Fwi

Fréchet

Rom

Development

Seismic

Waves

Fwi

Fréchet

Rom

Résumé

L’exploration du sous-sol joue un rôle crucial dans de nombreux domaines, allant de la production d’énergie (pétrole, gaz, géothermie) à l’ingénierie civile, en passant par les enjeux environnementaux comme le stockage du CO2. Cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’imagerie souterraine, où l’objectif est de reconstruire les propriétés internes du sous-sol à partir d’enregistrements de champs d’ondes générées artificiellement. Ce processus, connu sous le nom d’inversion de formes d’ondes complètes (FWI), repose sur la résolution répétée d’équations d’ondes, ce qui entraîne un coût computationnel élevé, en particulier dans des contextes à haute résolution et multi-paramètres. Pour répondre à ces défis, cette thèse explore des approches de réduction d’ordre de modèle (MOR), qui permettent de diminuer la dimension des systèmes à résoudre tout en préservant leur dynamique essentielle. Après avoir présenté les fondements de la FWI dans le cadre de la propagation des ondes acoustiques, ainsi que la méthode des éléments spectraux utilisée pour la discrétisation, l’étude se concentre sur la méthode de Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres (POD) et son application au problème de l'équation des ondes acoustique, puis introduit une variante utilisant une décomposition QR, visant à pallier les coûts mémoire de l'approche POD classique tout en maintenant un ordre de précision équivalent. L’une des difficultés majeures des ROMs réside dans leur sensibilité aux variations de paramètres. Pour y remédier, la thèse propose une méthode basée sur les dérivées de Fréchet du problème considéré, qui permet de construire des bases réduites plus robustes face aux changements de paramètres. Cette méthode est validée sur des problèmes acoustiques en 2D et 3D, puis intégrée dans un cadre FWI via la plateforme GEOS. En résumé, ce travail apporte une contribution originale à la résolution efficace de problèmes inverses en géophysique, en combinant méthodes numériques avancées et réduction de modèles, ouvrant la voie à des applications à grande échelle avec des coûts réduits.

Subsurface exploration plays a crucial role in many fields, ranging from energy production (oil, gas, geothermal) to civil engineering and environmental issues such as CO2 storage. This thesis is situated within the framework of subsurface imaging, where the goal is to reconstruct the internal properties of the subsurface from recordings of artificially generated wavefields. This process, known as Full Waveform Inversion (FWI), relies on the repeated solution of wave equations, resulting in high computational costs, particularly in high-resolution and multi-parameter contexts. To address these challenges, this thesis explores Model Order Reduction (MOR) approaches, which aim to reduce the dimensionality of the systems to be solved while preserving their essential dynamics. After presenting the foundations of FWI in the context of acoustic wave propagation, as well as the spectral element method used for discretization, the study focuses on the Proper Orthogonal Decomposition (POD) method and its application to the acoustic wave equation problem. It then introduces a variant using a QR decomposition, designed to mitigate the memory costs of the classical POD approach while maintaining a similar level of accuracy. One of the major challenges of Reduced Order Models (ROMs) lies in their sensitivity to parameter variations. To address this, the thesis proposes a method based on the Fréchet derivatives of the problem, enabling the construction of reduced bases that are more robust to parameter changes. This method is validated on 2D and 3D acoustic problems and then integrated into a FWI framework via the GEOS platform. In summary, this work makes an original contribution to the efficient solution of inverse problems in geophysics by combining advanced numerical methods with model reduction, paving the way for large-scale applications with reduced computational costs.