Étude de la Conjecture de Syracuse et des opérateurs de Bishop du point de vue de la dynamique linéaire

Study of the Collatz Conjecture and of the Bishop operators from the point of view of linear dynamics

• Auteur / Autrice : Vincent Béhani
• Direction : Sophie Grivaux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 17/11/2023
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Étienne Matheron
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Charpentier, Emmanuel Fricain, Karl-Goswin Grosse-Erdmann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Isabelle Chalendar, Emma D'Aniello

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Banach

Opérateurs linéaires bornés

Analyse fonctionnelle

Sous-espaces invariants

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Hypercyclicité

Opérateurs de Bishop

Conjecture de Syracuse

Dynamique linéaire

Linear dynamical systems

Hypercyclicity. Supercyclicity. Cyclicity

Invariant subspace problem

Bishop operators

Collatz Conjecture

Functional analysis

Résumé

Nous nous intéressons dans cette thèse à deux célèbres problèmes ouverts, que sont la conjecture de Syracuse et le Problème du sous-espace invariant.Nous les étudierons du point de vue de la dynamique linéaire.La dynamique linéaire consiste en l'étude du comportement des itérés d'un opérateur linéaire continu agissant sur un espace de Banach ou de Fréchet.Cette théorie comprend notamment les notions de cyclicité, qui requiert l'existence d'orbites engendrant un sous-espace dense, ou d'hypercyclicité, qui requiert plus précisément l'existence d'orbites denses.La conjecture de Syracuse affirme que les orbites de l'application de Collatz, qui agit sur les entiers, contiennent toutes le point 1.Afin d'adopter le point de vue de la dynamique linéaire, nous associons à l'application de Collatz un opérateur sur un espace de fonctions holomorphes et étudions ses propriétés dynamiques.Nous généralisons les résultats obtenus par Neklyudov et montrons notamment que cet opérateur est hypercyclique sans condition supplémentaire concernant l'application de Collatz.Le problème du sous-espace invariant dans le cadre Hilbertien s'intéresse au fait que tout opérateur linéaire et continu, agissant sur un espace de Hilbert complexe, séparable et de dimension infinie, puisse admettre un sous-espace fermé invariant non-trivial.La famille des opérateurs de Bishop sur [dollar]L ^ 2([0, 1])[dollar], dépendant d'un paramètre réel, a un intérêt particulier dans ce contexte, car certains de ces opérateurs pourraient être de potentiels contre-exemples au problème du sous-espace invariant.Nous étudions dans cette thèse la cyclicité des opérateurs de Bishop.Nous nous basons notamment sur l'étude par Chalendar et Partington de leur cyclicité dans le cas rationnel pour expliciter des paramètres irrationnels rendant l'opérateur de Bishop cyclique.

We will be interested in this thesis in two famous open problems, which are the Collatz Conjecture and the Invariant Subspace Problem.We will study them from the point of view of linear dynamics.The linear dynamics consist in the study of the behavior of the iterates of a continuous linear operator acting on a Banach or Fréchet space.This theory includes in particular the notion of cyclicity, which requires the existence of orbits spanning a dense subspace, or the notion of hypercyclicity, which requires the existence of dense orbits.The Collatz Conjecture claims that every orbit of the Collatz map, acting on integers, reaches the point 1.In order to study it from the point of view of linear dynamics, we associate to the Collatz map an operator on a space of holomorphic functions and determine its dynamical properties.We generalize the results obtained by Neklyudov and show in particular that this operator is hypercyclic without any additional condition on the Collatz map.The Invariant Subspace Problem in the Hilbertian setting asks whether every linear continuous operator, acting on a separable, complex, infinite-dimensional Hilbert space, admits a non-trivial closed invariant subspace.The family of Bishop operators on [dollar]L ^ 2([0, 1])[dollar], depending on a real parameter, was suggested as containing potential counter-examples to this problem.In this thesis, we study the cyclicity of Bishop operators.We rely in particular on a study by Chalendar and Partington of their cyclicity in the rational case to explicit irrational parameters making the Bishop operator cyclic.