Fonctions L et points rationnels de tordues galoisiennes de courbes modulaires

L-functions and rational points for Galois twists of modular curves

• Auteur / Autrice : Élie Studnia
• Direction : Loïc Merel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/11/2024
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Anna Cadoret
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Giada Grossi, Vincent Pilloni, Jan Vonk
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Henri Darmon, Pierre Parent

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentations galoisiennes

Courbes elliptiques

Courbes modulaires

Fonctions L

Points rationnels (géométrie)

Mots clés libres

Points rationnels

Courbes modulaires

Formes modulaires

Courbes elliptiques

Représentations galoisiennes

Fonctions L

Systèmes d'Euler

Modularité

Rational points

Modular curves

Modular forms

Elliptic curves

Galois representations

L-functions

Euler systems

Modularity

Résumé

Dans cette thèse, on discute de l'existence de courbes elliptiques sur une base générale pour lesquelles la p-torsion est un schéma en groupes fixé (où p est un nombre premier). On prouve tout d'abord que ce problème est représentable au sens de Katz-Mazur par une courbe affine lisse, puis on décrit une autre manière de construire sa compactification sur un corps, comme la tordue de X(p) par une représentation galoisienne bidimensionnelle modulo p. On étudie ensuite la fonction L d'une telle courbe modulaire tordue sur le corps des rationnels et le signe de l'équation fonctionnelle conjecturalement satisfaite par ses facteurs. Lorsque la représentation galoisienne possède une petite image, on affine cette décomposition et on montre que les fonctions L de chacun des facteurs satisfont des équations fonctionnelles dont on détermine le signe. Grâce au système d'Euler de Beilinson-Flach, et en étendant des résultats de grande image galoisienne dûs à Loeffler, on montre la conjecture de Bloch-Kato en rang zéro pour chaque facteur sans multiplication complexe, et on applique ce résultat pour contrôler explicitement la mauvaise réduction de courbes elliptiques pour laquelle l'image de Galois est contenue dans le normalisateur d'un sous-groupe de Cartan non déployé, sous une hypothèse supplémentaire de non-annulation de certaines fonctions L de Rankin-Selberg, que l'on sait vérifier dans certains cas.

In this thesis, we discuss the existence of elliptic curves over a general base scheme for which the p-torsion is a given finite étale scheme, where p is a given prime. We first prove that this problem is representable in the sense of Katz and Mazur by a smooth affine curve, then describe another way to construct the compactification of such a curve over a base field, as a twist of X(p) by a two-dimensional Galois representation modulo p. We then study the L-function of such a twisted modular curve over the field of rationals and compute the sign of the functional equation that its factors are conjectured to satisfy. When the aforementioned Galois representation has small image, we show that this decomposition can be refined further, and we prove that the associated L-functions satisfy a functional equation whose sign we also determine. We then demonstrate the rank zero Bloch-Kato conjecture for every such factor without complex multiplication using the Euler system of Beilinson-Flach elements and extending big Galois image results due to Loeffler. We finally provide an application of such a result by giving an explicit bound on the bad reduction of elliptic curves such that the image of the Galois action on its p-torsion is contained in the normalizer of a nonsplit Cartan subgroup, under the additional hypothesis that certain Rankin-Selberg L-functions do not vanish, which is known to hold in certain cases.