Algèbres de graphe de Brauer (dégénéré), mutation bousculante et équivalences dérivées

(Skew) Brauer graph algebras, silting mutation and derived equivalences

• Auteur / Autrice : Valentine Soto
• Direction : Claire Amiot, Thomas Brüstle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/12/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble, Isère, France ; 1973-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean Fasel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre-Guy Plamondon, Takuma Aihara
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sibylle Schroll, Bethany Rose Marsh

Mots clés

Mots clés contrôlés

Brauer, Groupe de

Mots clés libres

Catégories triangulées

Catégories de modules

Représentation de carquois

Graphe de Brauer

Triangulated categories

Module categories

Quiver representation

Brauer graph

Résumé

Dans cette thèse, on étudie dans un premier temps la mutation bousculante pour les algèbres de graphe de Brauer (dégénéré). Il s'agit d'algèbres de dimension finie définie à partir d'une donnée combinatoire appelée graphe de Brauer. Plus précisément, on décrit combinatoirement la mutation bousculante de ces algèbres en termes de mouvements de Kauer généralisés : cette mutation s'avère être en réalité basculante et induit ainsi une équivalence dérivée. Dans un second temps, on étudie les équivalences dérivées d'algèbres de dimension finie obtenues à partir de leurs extensions triviales.Dans le Chapitre 1, on rappelle la définition usuelle et certaines propriétés des algèbres de graphe de Brauer. On donne également une nouvelle définition des graphes de Brauer grâce à la notion de cartes combinatoires. Cela permet notamment de définir une action sur les graphes de Brauer, outil central dans la définition des mouvements de Kauer généralisés.Les Chapitres 2 et 3 sont consacrés à la description combinatoire de la mutation bousculante des algèbres de graphe de Brauer (dégénéré). Dans le Chapitre 2, on traite le cas des algèbres de graphe de Brauer de multiplicité identiquement égale à 1. Dans ce cas, on utilise des aspects géométriques des algèbres aimables qui sont reliées à ces algèbres de graphe de Brauer via l'extension triviale. Dans le Chapitre 3, on étend cette description aux algèbres de graphe de Brauer de multiplicité quelconque. De plus, on définit dans ce chapitre la notion d'algèbres de graphe de Brauer dégénéré. On montre qu'elles généralisent naturellement les algèbres de graphe de Brauer de part leur définition et leur lien avec les algèbres quasi-aimables via l'extension triviale. On donne également une description combinatoire de la mutation bousculante pour les algèbres de graphe de Brauer dégénéré. Les deux derniers cas sont rassemblés dans le même chapitre étant donné que leurs preuves utilisent des arguments combinatoires similaires.Dans le Chapitre 4, on étudie des cas où deux algèbres ayant des extensions triviales isomorphes sont dérivé-équivalentes. On décrit l'objet basculant associé à cette équivalence dérivée dans le cas des algèbres de matrices triangulaires. De plus, on étend l'étude précédente au cas de deux algèbres aimables dont les extensions triviales, qui sont des algèbres de graphe de Brauer, sont reliées par des mouvements de Kauer généralisés.

In this thesis, we first study silting mutation for (skew) Brauer graph algebras. These are finite dimensional algebras constructed from a combinatorial data called a Brauer graph. More precisely, we describe the combinatorics of silting mutation for these algebras in terms of generalized Kauer moves : this mutation is in fact tilting and hence induces a derived equivalence. On another part, we study derived equivalences of finite dimensional algebras which are obtained from their trivial extensions.In Chapter 1, we recall the usual definition and some properties of Brauer graph algebras. We also state a new definition of Brauer graphs in terms of combinatorial maps. Using this alternative definition, we define an action on Brauer graphs which is a central tool in the definition of generalized Kauer moves.Chapter 2 and Chapter 3 are devoted to the combinatorial description of silting mutation for (skew) Brauer graph algebras. In Chapter 2, we tackle the case of Brauer graph algebras with multiplicity identically 1. In this case, we use the geometrical aspects of gentle algebras which are linked to these Brauer graph algebras via the trivial extension. In Chapter 3, we extend this description to Brauer graph algebras with arbitrary multiplicity. We define in this chapter a notion of skew Brauer graph algebras. We show that they generalize naturally Brauer graph algebras regarding their definition and their link with skew gentle algebras via the trivial extension. We also describe the combinatorics of silting mutation for skew Brauer graph algebras. The last two cases are gathered in the same chapter as their proof uses similar combinatorial arguments.In Chapter 4, we study cases where two algebras with isomorphic trivial extensions are derived equivalent. We describe the tilting object corresponding to this derived equivalence for triangular matrix algebras. Moreover, we extend previous study to the case of two gentle algebras whose trivial extensions, which are Brauer graph algebras, are linked by generalized Kauer moves.