Constructions quasipériodiques : ensembles apériodiques de tuiles et sous-arbres induits optimaux dans des pavages substitutifs

Quasiperiodic constructions : from aperiodic tilesets to optimal induced subtrees in substitutive tilings

• Auteur / Autrice : Carole Porrier
• Direction : Thomas Fernique, Alexandre Blondin Massé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 05/11/2023
• Etablissement(s) : Paris 13 en cotutelle avec Université du Québec à Montréal
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de Paris Nord (Paris)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Émilie Charlier, Samuel Petite, Olivier Bodini, Christophe Reutenauer, Laurent Vuillon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Émilie Charlier, Samuel Petite

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dynamique symbolique

Markov, Processus de

Pavage (mathématiques)

Penrose, Transformation de

Mots clés libres

Graphe

Sous-Arbre induit

Fonction feuille

Graph

Induced subtree

Leaf function

Résumé

Un pavage du plan est composé d’ensembles fermés qui couvrent le plan entier sans trou ni chevauchement. On étudie des pavages quasi périodiques : bien qu’ils ne soient pas périodiques, on y trouve partout les mêmes motifs finis et leurs propriétés peuvent être assez fortes. On commence par se pencher sur les pavages « HBS », dérivés des pavages de Penrose, dont on fait un état de l’art avant de décrire de nouvelles propriétés. Ces pavages et des substitutions sont ensuite utilisés pour trouver la "fonction feuille" des pavages kites and darts de Penrose : on construit dans les graphes de Penrose une famille de sous-arbres induits "pleinement feuillus" arbitrairement grands, c’est-à-dire ayant le plus grand nombre possible de feuilles à nombre de sommets n fixés. On note ce nombre de feuilles L-P2n pour tout entier naturel n, et la suite des L-P2n, pour n entier naturel, est appelée fonction feuille des graphes de Penrose. On en donne la formule. Les barres d’Ammann ayant également joué un rôle dans l’étude du problème ci-dessus, on tente de mieux les comprendre via la notion de sous-périodes. Ces dernières découlent d’un schéma de coupe et projection permettant de définir certains pavages, dont les pavages de Penrose par losanges. On définit alors une méthode permettant de trouver des barres d’Ammann pour de nombreux pavages, en construisant des jeux de tuiles décorées, qui sont apériodiques. Enfin, la question des règles locales, également liée aux sous-périodes et substitutions, permet par ailleurs de construire un jeu de tuiles de Wang associé aux pavages golden octagonal, ainsi qu’une partition de Markov pour une rotation cartésienne sur un tore 2-dimensionnel, offrant une représentation symbolique de ces pavages.

A tiling of the plane is made up of closed sets that cover the entire plane without gaps or overlaps. We study quasiperiodic tilings: although they are not periodic, the same finite patterns can be found in them everywhere, and their properties can be quite strong. We start by looking at «HBS» tilings, derived from Penrose tilings, of which we review the state of the art before describing new properties. These tilings together with substitutions are then used to find the ‘’leaf function’’ of Penrose tilings: in Penrosegraphs, we construct a family of arbitrarily large ‘’fully leafed’’ induced subtrees, i.e. with as many leaves aspossible for a fixed number $n$ of vertices. We denote this number of leaves L_P2n for any natural number n, and the sequence L_P2n for non-negative integers n, is called the leaf function of Penrose graphs. Its formula is given. Since Ammann bars also played a role in the study of the above problem, we’re trying to understand them better via the notion of subperiods. The latter are derived from a cut-and-project scheme used to define certain tilings, including Penrose tilings by rhombuses. We then define a method for finding Ammann bars for many tilings, byconstructing sets of decorated tiles, which are aperiodic.Finally, the question of local rules, also related to subperiods and substitutions, enables us to construct a Wang tileset associated with golden octagonal tilings, as well as a Markov partition for a cartesian rotation on a 2- dimensional torus, offering a symbolic representation of these tilings.