Presque réductibilité des cocycles quasi-périodiques en classes C infinie et ultra-différentiables

Almost reducibility of quasiperiodic cocycles in C∞ and ultradifferentiable classes

• Auteur / Autrice : Maxime Chatal
• Direction : Claire Chavaudret, Marie-Claude Arnaud
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/10/2024
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Abed Bounemoura
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Roberta Fabbri
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Niederman, Kristian Bjerklöv
• DOI : 10.70675/3ad2b3e4z8136z4edczbc38zcf045519e015

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques

Cocycles

Théorème KAM

Analyse diophantienne

Mots clés libres

Cocycle

Quasi-périodique

Presque réductibilité

Méthode KAM

Petits diviseurs

Classes ultradifférentiables

Condition Diophantienne

Condition de Brjuno

Résonances

Cocycles

Quasiperiodic

Almost reducibility

KAM method

Small divisors

Ultradifferentiable classes

Brjuno condition

Diophantine condition

Resonances

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de presque réductibilité des cocycles quasi-périodiques. Dans un premier résultat, dans un cadre perturbatif, nous montrons qu'un cocycle de classe ultradifférentiable au sens de Braun-Meise-Taylor, à valeur dans SL(2,R), avec une condition arithmétique sur le vecteur fréquence adaptée à la classe de régularité est presque réductible. Ce résultat est basé sur une méthode KAM qui a largement porté ses fruits depuis plusieurs années concernant notamment la presque réductibilité des cocycles analytiques. Nous obtenons ici une presque réductibilité quantitative, et les estimées ainsi obtenues permettent d'obtenir la densité des cocycles réductibles proches d'un cocycle constant. Dans un deuxième résultat, nous montrons que si un cocycle réel de classe C∞ est quantitativement presque réductible, alors il est quantitativement presque réductible à une suite de cocycles réels, par une suite de conjugaisons réelles, modulo un doublement de période. Ce second résultat est basé sur une nouvelle méthode qui repose entre autres sur l'analyse des résonances entre les valeurs propres de la partie constante qui approche le système. La preuve s'articule en deux étapes. la première étape consiste à montrer que si un cocycle réel est presque réductible à une suite de cocycles réels, alors il peut l'être par une suite de conjugaisons réelles, ce qui nécessite ici une condition Diophantienne sur le vecteur fréquence. La seconde étape consiste à obtenir une presque réductibilité à une forme normale de Jordan. Une analyse plus fine de cette forme normale permet ensuite de montrer que la matrice du système a les propriétés spectrales d'une matrice réelle, modulo une perturbation suffisamment petite pour que la condition de convergence associée à la presque réductibilité soit satisfaite.

We are interested in this thesis in the study of almost reducibility of quasiperiodic cocycles. In a first result, in a perturbative setting, we prove that if a quasiperiodic cocycle, in ultradifferentiable class as defined by Braun-Meise-Taylor definition, taking values in SL(2,R), under an arithmetic condition on the frequency vector adapted to the regularity class, is almost reducible. This result is based on a KAM method which has been used since many years, and especially applied on almost reducibility results for analytic cocycles. We obtain here a quantitative almost reducibility result, and the estimates obtained allow us to show the density of reducible cocycles close to a constant one. In a second result, we prove that if a real cocycle of class C∞ is quantitatively almost reducible, then it is quantitatively almost reducible to a sequence of real cocycles, with a real sequence of change of variables, up to a period doubling. This second result is based on a new method which deals with resonances analysis between the eigenvalues of the constant part which approaches the system. The proof is done in two steps. The first step consists in proving that is a real cocycle is almost reducible to a sequence of real cocycles, then it can be so with a sequence of real conjugations, which requires a Diophantine condition on the frequency vector. The second step consists in getting an almost reducible result to a normal Jordan form. Finely analysing this normal form allow us to show that the matrix of the system has the same spectral properties as a real matrix, modulo a perturbation which is small enough so the convergence condition of almost reducibility is satisfied.