Etude de variétés projectives sur une courbe adélique

Study of projective varieties over adelic curves

• Auteur / Autrice : Antoine Sédillot
• Direction : Huayi Chen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/07/2024
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Sébastien Boucksom
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : José Ignacio Burgos Gil, Catriona Maclean
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jérôme Poineau, Klaus Künnemann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Berkovich

Surfaces de Riemann

Surfaces de Zariski

Théorie de Nevanlinna

Approximation diophantienne

Théorie d'Arakelov

Mots clés libres

Géométrie d'Arakelov

Approximation diophantienne

Théorie de Nevanlinna

Espaces de Zariski-Riemann

Espaces de Berkovich

Arakelov geometry

Diophantine approximation

Nevanlinna theory

Zariski-Riemann spaces

Berkovich spaces

Résumé

Dans cette thèse, on étudie deux formalismes permettant de faire de la géométrie d'Arakelov dans des cadres variés. Notre point de départ est la théorie des courbes adéliques introduite par Chen et Moriwaki. Dans le cadre des courbes adéliques, on généralise le résultat de différentiabilité pour le χ-volume démontré dans un travail récent de Chen-Moriwaki. Dans le cas local non-archimédien, notre résultat généralise celui de Boucksom-Gubler-Martin. La majeure partie de cette thèse est consacrée à l'introduction d'un autre formalisme inspiré de celui des courbes adéliques. La différence principale est que l'espace de paramètres que l'on considère est un espace topologique (au lieu d'un espace de mesure dans le cas des courbes adéliques). Pour ce faire, on doit considérer des objets plus généraux que les valeurs absolues usuelles. Ces derniers sont appelés des pseudo-valeurs absolues et ont déjà un intérêt arithmétique intrinsèque. On pose ensuite les fondations de la géométrie d'Arakelov sur ces dénommées courbes adéliques topologiques. Ce formalisme possède notamment l'avantage de pouvoir travailler sur des corps non dénombrables. En outre, ce cadre pourrait fournir des idées nouvelles en vue d'étudier l'analogie entre approximation diophantienne et théorie de Nevanlinna.

In this thesis, we study two formalisms to perform Arakelov geometry in general settings. Our starting point is the framework of adelic curves, which was introduced by Chen and Moriwaki in their recent monograph. In the context of adelic curve we give a generalisation of the differentiability result for the χ-volume function proved recently by Chen and Moriwaki. Our work also generalises the results of Boucksom-Gubler-Martin in the local non-Archimedean case. The major part of this thesis consists in introducing another framework inspired by adelic curves. The main difference is that the parameter space is a topological space (instead of a measure space for adelic curves). To do so, we need to consider more general objects than usual absolute values. These objects are called pseudo-absolute values and possess a great arithmetic interest. Then we set the foundations of Arakelov geometry over these so-called topological adelic curves. This framework has the advantage of being able to handle uncountable fields. Moreover, this formalism could provide new ideas for studying the analogy between Diophantine approximation and Nevanlinna theory.