Champs de caractères pour surfaces de Riemann et multplicités pour caractères de GLn(Fq)

Character stacks for Riemann surfaces and multiplicities for characters of GLn(Fq)

• Auteur / Autrice : Tommaso Scognamiglio
• Direction : Emmanuel Letellier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/05/2024
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne Moreau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gérard Laumon, Florent Schaffhauser, Michela Varagnolo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Victor Ostrik, Olivier Schiffmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces de Riemann

Multiplicité (mathématiques)

Cohomologie

Représentations de groupes

Mots clés libres

Représentations de groupes réductifs finis

Représentations de carquois

Champs de carquois multiplicatifs

Champs de caractères

Cohomologie à support compact

Representations of finite reductive groups

Quiver representations

Multiplicative quiver stacks,

Character stacks

Compactly supported cohomology

Résumé

Nous étudions les multiplicités du produit tensoriel des caractères irréductibles de GLn(Fq) et la cohomologie des champs de caractères pour les surfaces de Riemann trouées et pour les surfaces non orientables. Nous donnons une formule pour la multiplicité hX1_ _ _Xk; 1i pour tout k-uplet de caractères semi-simples deployés (X1; _ _ _ ;Xk). Une telle formule était déjà connue pour un k-uplet générique grâce à [45],[46]. Parmi nos résultats, nous prouvons que ces multiplicités sont polynomiales en q avec des coefficients entiers non négatifs et nous obtenons un critère de non-vani_cation. La formule de la thèse est donnée en reliant la multiplicité hX1 _ _ _ Xk; 1i au comptage des classes d'isomorphismes des représentations d'un certain carquois étoilé sur Fq. Les champs de caractères pour les surfaces de Riemann classi_ent les systèmes locaux sur la surface avec une monodromie locale prescrite. Pour un choix générique de la monodromie, leur cohomologie est bien comprise grâce à [46],[45],[72]. Nous calculons les E-séries de ces champs de caractères et donnons une formule conjecturale pour leurs séries de Poincaré mixtes pour tout choix de monodromie (pas nécessairement générique). Nous vérifions cette conjecture dans le cas de la ligne projective et de quatre points. Le résultat concernant la E-série est obtenu en comptant les points sur les corps finis, en généralisant l'approche introduite dans [46],[45]. Ces résultats complètent et renforcent également les résultats récents de Davison, Hennecart, Schelegel-Mejia [24] concernant une version champ-être de la théorie de Hodge non abélienne. Enfin, nous donnons un contre-exemple à une formule suggérée par le travail de Letellier et Rodriguez-Villegas [65] pour la série de Poincaré mixte des champs de caractères pour les surfaces non orientables. Le contre-exemple est obtenu par une description explicite de ces champs de caractères pour la somme connexe de deux copies du plan projectif réel.

We study multiplicities for tensor product of irreducible characters of Gln(Fq) and the cohomology of character stacks for punctured Riemann surfaces and for non-orientable surfaces. We give a formula for the multiplicity of the trivial representation in the tensor product of M1, ...,Mk for any k-tuple (M1,...,Mk) of semisimple split characters. Such a formula was previously known for a generic k-tuple thanks to the works of Hausel, Letellier and Rodriguez-Villegas. The formula in the thesis is given relating these multiplicities to the counting of the isomorphims classes of representations of certain star-shaped quivers over finite fields. Character stacks for Riemann surfaces classify local systems on the Riemann surfaces with prescribed semisimple local monodromy. For a generic choice of the monodromy, their cohomology is well understood thanks to Hausel, Letellier, Rodriguez-Villegas and Mellit . We compute the E-series of these character stacks and give a conjectural formula for their mixed Poincaré series for any choice of semisimple monodromy (not necessarily generic). Finally, we give a counterexample to a formula suggested by the work of Letellier and Rodriguez-Villegas for the mixed Poincaré series of character stacks for non-orientable surfaces. The counterexample is obtained by an explicit description of these character stacks for the connected sum of two copies of the real projective plane.