Recherche de régularités et représentations succinctes de graphes

Regularity search and succinct representation of graphs

• Auteur / Autrice : François Pitois
• Direction : Olivier Togni, Hamida Seba Lagraa, Mohammed Haddad
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 10/07/2024
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences Physiques pour l'Ingénieur et Microtechniques (Besançon ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-2024)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Informatique de Bourgogne (LIB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Christophe Crespelle
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Aline Parreau, Fabien de Montgolfier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cyril Gavoille, Christophe Paul

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arbres (théorie des graphes) -- Informatique

Données -- Compression (informatique) -- Logiciels

Mots clés libres

Graphes

Compression

Splits

Algorithmique

Graphe ordonné

Motif

Graphs

Compression

Splits

Algorithmics

Ordered graph

Pattern

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les régularités dans les graphes et les représentations succinctes des graphes. Une régularité, ou structure, est un terme générique qui désigne un ensemble de sommets du graphe ayant certaines propriétés. Parmi les régularités les plus connues, nous pouvons citer les cliques, les sous-graphes denses, les communautés, les modules et les splits. Une représentation succincte d'un graphe est une façon de le décrire qui est plus efficace que de simplement lister les différentes arêtes du graphe. Chercher des régularités permet d'obtenir des représentations succinctes. Ainsi, dans un premier temps, nous avons développé un algorithme de compression de graphe qui cherche différentes régularités du graphe, en sélectionne une partie et partitionne le graphe en fonction des structures sélectionnées. Cet algorithme donne une description succincte du graphe qui est meilleure que certains algorithmes de référence.Dans un deuxième temps, nous avons créé nos propres structures, de sorte qu'elles soient adaptées à la compression et qu'elles soient assez facile à chercher. Pour ce faire, nous sommes partis d'une structure connue, le split, et nous l'avons généralisée en créant le r-split, où r est un paramètre entier fixé. Nous avons alors montré que l'ensemble des r-splits d'un graphe a une cohérence globale, dans le sens où seul un nombre polynomial d'entre eux suffit à décrire l'intégralité des r-splits du graphe. Cela généralise une propriété bien connue des splits, pour lesquels seul un nombre linéaire d'entre eux suffit à retrouver tous les autres. Nous avons également montré que les r-splits peuvent se calculer en temps polynomial en utilisant des algorithmes d'optimisation de fonctions sous-modulaires.Dans un troisième temps, nous nous sommes intéressés à la recherche de structures particulières : les motifs dans les graphes ordonnés. Un graphe ordonné est un graphe dans lequel les sommets sont ordonnés de 1 à n. Un motif est un sous-graphe ordonné partiel, dans le sens où chaque paire de sommets peut être reliée soit par une arête, soit par une non-arête, soit par ni l'une ni l'autre. Le but est de fixer un motif P et de construire un algorithme capable de détecter si P est dans n'importe quel graphe ordonné donné en paramètre. Ce problème est polynomial en la taille du graphe via une recherche exhaustive. Cependant, est-il possible de faire mieux ? Nous avons montré que oui : la plupart des motifs à trois sommets peuvent être détectés en temps linéaire là où une recherche exhaustive nécessite un temps cubique. Concernant les motifs plus grands, nous avons exhibé des classes de motifs qui peuvent être détectés en temps sous-cubique : les motifs planaires extérieurs. En ajoutant des contraintes supplémentaires, nous avons exhibé une classe de motifs qui peuvent être détectée en temps linéaire : il s'agit des motifs planaires extérieurs sans cycle et sans non-arête.

In this thesis, we investigate regularities in graphs and succinct representations of graphs.A regularity, or structure, is a generic term that refers to a set of vertices in a graph with certain properties.Among the most well-known regularities, we can mention cliques, dense subgraphs, communities, modules, and splits.A succinct representation of a graph is a way of describing it that is more efficient than simply listing the different edges of the graph.Searching for regularities enables obtaining succinct representations.Thus, in a first step, we developed a graph compression algorithm that searches for different graph regularities, selects a portion of them, and partitions the graph based on the selected structures.This algorithm provides a succinct description of the graph that is better than some benchmark algorithms.In a second step, we created our own structures, so they are suitable for compression and are easy enough to search for.To do this, we started from a known structure, the split, and generalized it to create the r-split, where r is a fixed integer parameter.We then showed that the set of r-splits of a graph has a global coherence, in the sense that only a polynomial number of them is sufficient to describe all r-splits of the graph.This generalizes a well-known property of splits, for which only a linear number of them is sufficient to recover all the others.We also demonstrated that r-splits can be computed in polynomial time using submodular function optimization algorithms.In a third step, we focused on searching for particular regularities: patterns in ordered graphs.An ordered graph is a graph in which the vertices are ordered from 1 to n.A pattern is a partial ordered subgraph, in the sense that each pair of vertices can be connected either by an edge, a non-edge, or neither.The goal is to fix a pattern P and build an algorithm capable of detecting if P is in any ordered graph given as an input.This problem is polynomial in the size of the graph via exhaustive search.However, is it possible to do better?We were able to show that yes: most three-vertex patterns can be detected in linear time while exhaustive search requires cubic time.Regarding larger patterns, we exhibited classes of patterns that can be detected in subcubic time: outerplanar patterns.By adding additional constraints, we exhibited a class of patterns that can be detected in linear time: these are outerplanar patterns without cycles and non-edges.