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Marches aléatoires et statistique d'exclusion

par Li Gan

Projet de thèse en Physique

Sous la direction de Stéphane Ouvry.

Thèses en préparation à université Paris-Saclay , dans le cadre de Physique en Ile de France , en partenariat avec Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques (laboratoire) et de Faculté des sciences d'Orsay (référent) depuis le 01-10-2020 .


  • Résumé

    Une formule pour l'énumération de l'aire algébrique de marches aléatoires fermées sur un réseau carré a été obtenue [1] à partir des coefficients de Kreft qui encodent l'équation de Schrodinger du modèle quantique de Hofstadter. Le modèle de Hofstadter (une particle chargée se déplacant sur un réseau carré et couplée à un champ magnétique perpendiculaire) a un spectre qui est un rare exemple d'un fractal. Il est relié aux marches aléatoires sur un réseau carré via un mapping entre le n-th moment de l'Hamiltonien de Hofstadter et la fonction génératrice pour l'énumération de l'aire algébrique de marches de longueur n. La formule obtenue dans [1] a une complexité qui croit exponentiellement avec la longueur des marches considérées. Par ailleurs, plus récemment [2], il a été mis en évidence une relation intime entre l'énumération de l'aire algébrique et les statistiques quantiques d'exclusion (ou statistiques anyoniques [3]). La thèse se concentrera sur une meilleure compréhension et amélioration de ces résultats qui sont encore pour certains mal compris et insuffisamment développés. On s'intéressera également à des marches plus générales sur des réseaux plus complexes. L'importance et l'utilité des statistiques d'exclusion pour ce type de problème seront aussi étudiées en détail. Finalement des liens seront établis avec la théorie des nombres et en particulier les nombres dits Apery-like qui, de manière surprenante, apparaissent naturellement dans le contexte de l'énumération de l'aire algébrique.

  • Titre traduit

    Lattice random walks and exclusion statistics


  • Résumé

    A formula for the algebraic area enumeration of closed random walks on a square lattice has been obtained [1] from the Kreft coefficients which encode the Schrodinger equation of the quantum Hofstadter model. The Hofstadter model (a charged particle hopping on a square lattice coupled to a perpendicular magnetic field) has a spectrum which is a rare example of a quantum fractal. It happens to be related to closed random walks on a square lattice via a mapping between the n-th moment of the Hofstadter Hamiltonian and the generating function for the enumeration of close lattice walks making n steps and enclosing a given algebraic area. More recently [2] the algebraic area enumeration was generalized to a wider class of random walks and lattices by recognizing the underlying role of exclusion statistics in the enumeration [3]. Several key observations in these two works happen to be still incompletely understood and not yet seated on solid mathematical grounds. The enumeration itself has a complexity which increases exponentially with n making it difficult to be used for walks with a large number of steps. The thesis will focus on a better understanding and improving of the enumeration formula, in particular simplifying it to make it more tractable for large n. Also the investigation of various lattices and random walks will be pushed forward in connection with exclusion statistics. Finally some links will be also established with number theory and in particular the so-called Apéry-like numbers which, surprisingly, appear naturally in the algebraic area enumeration.