Étude théorique et numérique de la stabilité GKS pour des schémas d'ordre élevé en présence de bords

Theoretical and numerical analysis of GKS-stability for high order finite difference schemes with boundaries

• Auteur / Autrice : Pierre Le Barbenchon
• Direction : Benjamin Boutin, Nicolas Seguin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 27/06/2023
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IRMAR
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Antoine Benoit, Jean-François Coulombel, Erwan Faou
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pascal Noble, Katharina Schratz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Stabilité

Schémas (géométrie algébrique)

Mots clés libres

Schémas numériques

Condition de bord

Stabilité forte

Théorie GKS

Déterminant de Kreiss--Lopatinskii

Numerical scheme

Boundary condition

Strong stability

GKS theory

Kreiss--Lopatinskii determinant

Résumé

Dans ce manuscrit, nous étudions la stabilité forte des schémas numériques explicites à un pas à coefficients constants, posés sur le demi-espace et possédant un bord à gauche. On suppose que ces schémas sont consistants avec l'équation de transport scalaire en dimension 1 comportant une donnée de bord à gauche. Grâce au théorème de Kreiss et à la théorie développée par Gustafsson, Kreiss et Sundström, la stabilité forte est équivalente à l'absence de zéros du déterminant de Kreiss--Lopatinskii à l'extérieur du disque unité ouvert. On va alors décrire une stratégie numérique permettant de compter les zéros du déterminant de Kreiss--Lopatinskii afin de pouvoir conclure sur la stabilité forte du schéma. La première partie de ce manuscrit décrit plusieurs approches de la stabilité et introduit les objets nécessaires à la compréhension des contributions, notamment la théorie de Gustafsson, Kreiss et Sundström et le déterminant de Kreiss--Lopatinskii. La deuxième partie est dédiée aux résultats théoriques et aux stratégies numériques pour le cas particulier des schémas totalement décentrés et pour le cas général. L'enjeu est de trouver des stratégies efficaces et robustes pour étudier la stabilité de ces schémas, notamment au travers d'outils numériques et de la condition de Kreiss--Lopatinskii uniforme représentée par le déterminant de Kreiss—Lopatinskii.

We study the strong stability of one-step explicit finite difference schemes set on the half-space with a left boundary condition. We work on schemes which are consistent with the scalar advection equation. Thanks to Kreiss theorem and GKS theory, the strong stability is equivalent to the absence of zero of the Kreiss--Lopatinskii determinant outside the open unit disk. Then we describe a numerical strategy to count the number of zeros of the Kreiss--Lopatinskii determinant in this domain. The first part deals with different approaches to work on stability and introduce the tools needed to understand the contributions. The second part presents the details of the theoritical results and the numerical strategies for the particular case of totally upwind scheme and for the general case. The goal is to introduce and to study a robust and efficient numerical strategy to handle strong stability, thanks to numerical tools and the uniform Kreiss--Lopatinskii condition.