Congruences entre Formes Automorphes et Torsion de la Cohomologie

par Shayan Gholami

Projet de thèse en Doctorat mathematiques

Sous la direction de Jacques Tilouine.

Thèses en préparation à Paris 13 , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) depuis le 12-11-2019 .

Résumé

Il s'agit d'étudier les congruences de formes automorphes pour GL(N) sur un corp de nombres de type CM en tenant compte de la torsion de la cohomologie des espaces symétriques qui interviennent. Deux parties devront composer ce travail: l'étude de l'annulation de la torsion en dehors de l'intervalle de Borel-Harish-Chandra lorsqu'on localise la cohomologie en un idéal maximal non Eisenstein de l'algèbre de Hecke. En effet, sous l'hypothèse que cette torsion s'annule, Calegari-Geraghty puis Galatius-Venkatesh (dans la version améliorée de leur travail produite par mon étudiant Yichang Cai) donnent une description fine de la cohomologie entière, permettant de relier les congruences à certains anneaux simpliciaux de déformation galoisienne. La seconde partie concerne l'explicitation d'un critère de congruences pour les formes cuspidales sur GL(N), en termes de valeurs spéciales normalisées de la fonction L automorphe adjointe, suivant l'approche de Balasubramaniam et Raghuram, qui demande cependant à être raffinée du fait de la définition des périodes en termes de (\g,K_\infty)-cohomologie, avec des structures entières peu précises. La première question est basée sur l'analyse faite par Scholze, Caraiani-Scholze, Newton-Thorne et l'article à 10 auteurs [ACC+18] de la cohomologie de GL(N) comme cohomologie du bord d'une variété de Shimura unitaire. On cherchera d'abord à traiter le cas GL(3,F) où F est imaginaire quadratique, afin de minimiser la combinatoire compliquée qui préside à cette étude.

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