Le forcing préservant des ensembles stationnaires, conditions latérales et jeux

Stationary set preserving forcing, side conditions and games

• Auteur / Autrice : Ben De Bondt
• Direction : Boban Velickovic
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/04/2024
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Heike Mildenberger
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alessandro Vignati
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Aspero, Paul Bradley Larson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Ensembles, Théorie axiomatique des

Théorie des jeux

Forcing (mathématiques)

Mots clés libres

Forcing (mathématiques)

Ensemble stationnaire

Conditions latérales (forcing)

Jeux (mathématiques)

Axiomes de forcing

Maximum de Martin

Namba forcing

Propriétés de cohérence

Pmax forcing

Modèles virtuels

Forcing (mathematics)

Nonstationary ideal

Side conditions (forcing)

Games (mathematics)

Forcing axioms

Martin's maximum

Namba forcing

Consistency properties

Pmax forcing

Virtual models

Résumé

Cette thèse explore des possibilités à généraliser les puissantes méthodes de construction de forcings propres à l'aide des conditions latérales, afin d'obtenir des techniques de conditions latérales qui permettent de construire des notions de forcing qui sont en général non-propres mais qui préservent néanmoins des sous-ensembles stationnaires de ω1. Après parcourir brièvement les prérequis nécessaires au Chapitre 1, nous introduisons et étudions au Chapitre 2 la propriété de forcing fortement-ssp (fortement-préservant les ensembles stationnaires), qui généralise le forcing fortement-propre de Mitchell, et considérons les axiomes de forcing correspondants. Nous montrons que cette sous-classe de la classe des forcings ssp suffit pour une variété d'applications, mais montrons aussi qu'en même temps, tous les forcings fortement-ssp satisfont des propriétés très distinctives qu'ils partagent avec les forcings fortement-propres. Nous présentons et étudions de plus près une famille étendue d'exemples de forcings fortement-ssp, les chain shooting forcings généralisés. Chacun de ces forcings est défini par un cadre d'extension qui peut être adapté à l'objet générique que le forcing est visé d'ajouter. Cela confère une flexibilité à la construction des forcings qui rappelle la méthode de construction des forcings propres à partir des conditions latérales. Un aspect utile de cette méthode est que les cadres d'extension qui donnent lieu à des forcings ssp sont naturellement obtenues à partir de certaines familles de jeux fermés à deux joueurs pour lesquels des stratégies gagnantes existent pour le joueur approprié. Ceci est précisé au Chapitre 3, qui concerne plusieurs liens entre les questions de forceabilité et l'existence de stratégies gagnantes pour certaines familles de jeux fermés. Nous utilisons une notion de problème combinatoire général et un jeu de cohérence associé pour étudier de plus près la connexion. Aux Chapitres 4 et 5 les chain shooting forcings généralisés sont utilisés pour donner de nouvelles preuves combinatoires pour des résultats qui ont été initialement démontrés en utilisant la méthode de L-forcing développé par Jensen. Au Chapitre 4, nous discutons la relation précise entre la (fortement-)semipropreté des forcings Namba et les jeux de cohérence généralisés correspondants. Nous considérons des généralisations du jeu Namba comme le jeu Namba multiple, pour lequel nous remarquons que le deuxième joueur a une stratégie gagnante pour suffisamment de modèles. Ceci est utilisé pour construire un forcing fortement-ssp de type Namba qui permet de changer à volonté les cofinalités de nombreux cardinaux réguliers du modèle de départ pour devenir soit ω, soit ω1. Le Chapitre 5 concerne des chain shooting forcings généralisés qui ajoutent un modèle itérable dénombrable qui est le modèle de départ d'une itération générique de longueur ω1+1 dont le modèle final est de type Hλ^V. Comme alternatives aux L-forcings de Claverie et Schindler (2009) et Doebler et Schindler (2009), nous obtenons des forcings fortement-ssp pour forcer (sous des hypothèses appropriées) des Σ1-formules spécifiques pour Hω2, ainsi p.e. augmentant la valeur du deuxième indiscernable uniforme u2 au-delà d'un ordinal désigné. Au dernier chapitre de la thèse, une méthode plus générale de construction de forcings ssp est considérée, basée sur une construction de scaffolding itérée. Nous examinons les posets résultants, puis montrons, inspiré par les arguments de Aspero et Schindler (2021), l'applicabilité de cette méthode pour dériver à partir d'axiomes de forcing bornés certaines conséquences de l'axiome de Woodin (*), en utilisant des résultats récents de Kasum et Velickovic (2023).

This dissertation explores possibilities towards generalising the powerful existing side condition methods for building proper forcings into side condition techniques that allow to construct forcing notions which may be non-proper but still preserve stationary subsets of ω1. After overviewing in Chapter 1 the necessary prerequisites, we introduce and study in Chapter 2 the notion of strongly stationary set preserving (strongly ssp) forcing, which generalises Mitchell's strongly proper forcing, and consider corresponding forcing axioms. We show that this subclass of the class of ssp forcings suffices for many applications, but also prove that all strongly ssp forcings still satisfy very distinctive properties that they share with strongly proper forcings. We then present and investigate more closely over the course of the following chapters a large family of examples of strongly ssp forcings, the generalised chain shooting forcings. Each such forcing is defined by a so-called extension frame that can be tailored to the generic object the forcing is intended to add. This grants a flexibility in constructing non-proper ssp forcings that's prima facie reminiscent of the proper side condition method. As we observe in Chapter 3, devoted to games, a convenient aspect of this method is that extension frames which give rise to ssp forcings are naturally obtained from families of closed two-player games for which winning strategies exist for the right player. This leads us to also briefly overview in Chapter 3 particular links between forceability questions and the existence of winning strategies in certain families of closed games which have the same form as consistency games for theories in infinitary logics. We use a notion of combinatorial general problem and an associated consistency game to study closer the connection. In Chapters 4 and 5 the generalised chain shooting forcings are used to provide new combinatorial proofs for results which have originally been proven by making use of Jensen's L-forcing technique. In Chapter 4 we discuss the precise relation between (strong) semiproperness of Namba forcings and corresponding generalised consistency games. We consider generalisations of the Namba game such as the multiple Namba game, for which we point out that the second player has a winning strategy for sufficiently many models. This is used to construct a simple strongly ssp Namba-like forcing that allows to change at will cofinalities of many ground-model regular cardinals to become either ω or ω1. Chapter 5 is concerned with instances of the generalised chain shooting forcings that add a countable iterable model which is the starting model of a generic iteration of length ω1+1 whose final model is some Hλ^V. As alternatives to the L-forcings from Claverie and Schindler (2009) and Doebler and Schindler (2009), this gives strongly ssp ways of forcing (under suitable assumptions) some particular Σ1-sentences over Hω2 to become true, thus for example increasing the value of the second uniform indiscernible u2 beyond some ordinal bound. In the final chapter of the thesis a more general method of building ssp forcings is discussed which is based on an iterated scaffolding construction. We examine the resulting posets and then demonstrate, inspired by the arguments in Aspero and Schindler (2021), the applicability of this method to deriving from bounded forcing axioms certain consequences of Woodin's axiom (*), for this making use of recent results from Kasum and Velickovic (2023).