Dynamiques markoviennes à base de processus ponctuels et leurs applications

Point process based Markovian dynamics and their applications

• Auteur / Autrice : Michel Davydov
• Direction : François Baccelli
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 25/09/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : DIENS - Département d'informatique de l'École normale supérieure
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : DYOGENE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Eva LöCHERBACH
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Baccelli, Giovanni Luca Torrisi, Kavita Ramanan, Nicolas Gast, Sergei Foss, Eric LUçON
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Giovanni Luca Torrisi

Mots clés

Mots clés libres

Propagation du chaos

Champ moyen à répliques

Approximation poissonienne

Processus ponctuels

Modèles d'intensité

Propagation of chaos

Replica-mean-field

Poisson approximation

Point processes

Intensity-based models

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des modèles mathématiques de phénomènes pouvant être interprétés comme des dynamiques sur des réseaux. Cela inclut par exemple des modèles de populations de neurones interagissant à des instants aléatoires avec leurs voisins ou de propagation d'épidémies où les individus infectés ou susceptibles de l'être se déplacent de ville en ville. La description mathématique de tels phénomènes repose en général sur un compromis entre niveau de détail recherché et tractabilité mathématique. La majeure partie des travaux de cette thèse concerne l'élaboration de preuves mathématiques pour justifier l'introduction de modèles permettant de prendre en compte de la géométrie du réseau sous-jacent dans ces phénomènes tout en restant tractables. L'outil mathématique central pour cela est le champ moyen à répliques, qui consiste en des copies du réseau étudié entre lesquelles les interactions sont mélangées aléatoirement. Les résultats principaux de cette thèse concernent le comportement d'un tel système dynamique lorsque le nombre de répliques tend vers l'infini. Dans de multiples cadres, nous montrons qu'il converge vers une dynamique sous hypothèse poissonnienne, c'est-à-dire dans laquelle les temps d'interactions sont remplacées par des processus de Poisson indépendants, ce qui permet d'effectuer des calculs explicites pour certains modèles. Le chapitre 2 de cette thèse est consacré à l'établissement de ce résultat pour une classe de processus en temps discret, les processus d'interaction-agrégation-fragmentation. A l'échelle d'un noeud du réseau, ces processus modélisent l'état du noeud en agrégeant à son évolution autonome les effets des interactions de ses voisins. Le chapitre 3 étend ces résultats au cas du temps continu, où les instants des interactions sont vus comme des réalisations de processus ponctuels, en mettant en exergue le cas du modèle de Galves-Löcherbach utilisé en neurosciences computationnelles. Enfin, le chapitre 4 s'intéresse à l'étude d'un modèle de propagation d'épidémie sous hypothèse poissonnienne: le processus de migration-contagion, qui consiste en un réseau fermé de files d'attente entre lesquelles migrent des individus infectés ou susceptibles de l'être. Plus précisément, nous établissons un système d'équations non-linéaires vérifié par les nombres moyens d'individus infectés et susceptibles que nous étudions ensuite numériquement.

In this thesis, we are interested in mathematical models of phenomena that can be interpreted as network dynamics. This includes for example neuron population models in which neurons interact at random times with their neighbors or epidemics propagation where infected or susceptible individuals move from town to town. The mathematical description of such phenomena generally requires a compromise between physical or biological relevance and mathematical tractability. The main focus of this work is the elaboration of mathematical proofs to justify the introduction of models taking into account the geometry of the underlying networks whilst preserving tractability. The main mathematical tool for that purpose is the replica-mean-field, which consists in copies of the studied network between which interactions are routed randomly. The main results of this thesis concern the behavior of such a dynamical system when the number of replicas goes to infinity. In various settings, we show that it concerges to dynamics under the Poisson Hypothesis, that is, interaction times are replaced by independent Poisson processes, which allows to obtain closed forms in certain models. In chapter 2 of the thesis, we prove this result for a class of discrete-time dynamics: fragmentation-interaction-aggregation processes. At the scale of a given node, theses processes model its state by an autonomous evolution to which are aggregated the effets of the interactions with its neighbors. Chapter 3 extends these results to the continuous-time framework, where interaction times are seen as realizations of point processes, highlighting the case of Galves-Löcherbach model used in computational neuroscience. Finally, chapter 4 focuses on the study of a model of epidemics propagation under the Poisson Hypothesis: the migration-contagion process, consisting in a closed network of queues in between which infected and susceptible customers migrate. More precisely, we establish a system of nonlinear equations verified by the mean numbers of infected and susceptible individuals which we then study numerically.