Points spéciaux et modularité des courbes elliptiques définies sur Q et Fq(t)

Special points and modularity of elliptic curves defined over Q and Fq(t)

• Auteur / Autrice : Valentin Petit
• Direction : Christophe Delaunay, Cécile Armana
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/05/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur
• Partenaire(s) de recherche : Établissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Royer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Delaunay, Cécile Armana, Bill Allombert, Sandra Rozensztajn
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Royer, Bruno Anglès

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes elliptiques

Mots clés libres

Courbes elliptiques

Modularité

Points spéciaux

Paramétrisation modulaire

Courbes modulaires de Drinfeld

Elliptic curves

Modularity

Special points

Modular parametrization

Drinfeld modular curves

Résumé

Dans cette thèse, nous travaillons sur deux problèmes indépendants. La première partie concerne l'étude d'une famille de courbes elliptiques définies sur Q à deux paramètres. Le résultat principal prouve la non-divisibilité d'un point générique sous certaines conditions.Dans la seconde partie, nous nous intéressons à la paramétrisation modulaire sur les corps de fonctions par les courbes modulaires de Drinfeld. La construction de la paramétrisation due à Gekeler et Reversat dans ce contexte est plus complexe que dans le cas classique des courbes elliptiques définies sur Q. Nous y déterminons une formule explicite sur l'image des pointes par la paramétrisation modulaire. Puis nous donnons une borne explicite sur l'ordre de l'image de ces pointes qui est fini d'après un résultat de Gekeler. Finalement, nous illustrons les résultats à travers deux exemples en caractéristiques 2 et 3 de courbes elliptiques avec des conducteurs de petits degrés.

In this thesis, we work on two independent subjects. The first is a study of a two-parameter family of elliptic curves defined over Q. The main results asserts under mild conditions that a generic point belonging to the curve is not divisible.In the second work, we are interested in the modular parametrization over function fields by Drinfeld modular curves. The construction of the modular parametrization due to Gekeler and Reversat in this context is more complicated than the construction in the classical case of elliptic curves defined over Q. We determine an explicit formula on the image of cusps by the modular parametrization.Furthermore we know by a work of Gekeler that the image of a cusp has finite order. We give an explicit bound on its order. Finally we study two examples in characteristic 2 and 3 of elliptic curves with small degree conductors.