Problèmes inverses en optique anidolique et equations de jacobien prescrit

par Anatole Gallouet

Projet de thèse en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Boris Thibert et de Quentin Merigot.

Thèses en préparation à l'Université Grenoble Alpes , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique , en partenariat avec Laboratoire Jean Kuntzmann (laboratoire) et de Modélisation Géométrique & Multirésolution pour l'Image (equipe de recherche) depuis le 02-09-2019 .


  • Résumé

    Ces dernières années, des méthodes géométriques, appelées semi-discrètes, se sont avérées très efficaces pour résoudre numériquement certaines équations aux dérivées partielles et en particulier des problèmes de transport optimal. Ces méthodes s'inspirent de la méthode d'Aleksandrov et Pogorelov pour la construction de solutions faibles à l'équation de Monge-Ampère. Elles ont été utilisées pour montrer l'existence de solution au problème du réflecteur en optique anidolique. Plus récemment, un algorithme de Newton efficace a été développé pour résoudre des problèmes de transport optimal de grande taille (discrétisations comportant jusqu'à 100 millions de points). La convergence de cet algorithme a été étudiée pour des coûts de transport optimal assez généraux (satisfaisant la condition dite de Ma-Trudinger-Wang). Certains problèmes d'optique ne sont pas associées à des problèmes de transport optimal, mais à des équations plus générales dites de jacobien prescrits. C'est le cas en particulier des problèmes de modélisation de miroir ou de lentilles avec des sources de lumières collimatées ou ponctuelles quand la cible de lumière est à une distance finie, qui correspond au cas appelé near-field. Les équations de jacobien prescrits interviennent également dans des problèmes de modélisation en économie, avec notamment les problèmes d'appariement et le problème principal-agent. Le sujet proposé consiste à améliorer et étendre les méthodes semi-discrètes géométriques pour la résolution de problèmes de transport optimal à des équations de jacobien prescrit généralisé, notamment issues de problèmes d'optique anidolique. Les points suivants seront abordés: - Résolution d'équations de jacobien prescrit. L'analyse de la convergence de l'algorithme de Newton pour la résolution de problèmes de transport optimal repose sur une hypothèse posée par Ma-Trudinger-Wang. Cette notion a été étendue aux problèmes de jacobien prescrits par Trudinger. Une première piste consiste à utiliser la condition de régularité introduite par Trudinger pour développer et analyser un algorithme de résolution de problème de jacobiens prescrits. Des tests numériques suggèrent que l'on doit pouvoir approcher des problèmes de jacobien prescrits en linéarisant des problèmes de transport optimal, ce sera une deuxième piste à explorer. Les problèmes à résoudre sont aussi bien théoriques (conception du schéma de discrétisation et étude de convergence) que pratiques. - Application à des problèmes d'optique anidolique et d'économie. Ces algorithmes seront ensuite adaptés et appliqués à différents problèmes inverses d'optique anidolique. La suite de la thèse est plus ouverte, et sera consacrée à l'étude des problèmes issus de l'économie et faisant intervenir des problèmes de jacobien prescrits en appliquant l'algorithme développé au préalable.

  • Titre traduit

    Inverse problems in optics and prescribed jacobian equations


  • Résumé

    The last few years, geometric methods (called 'semi-discrete') have proven to be very efficient to solve non-linear PDE of Monge-Ampère type stemming from optimal transport. These geometric methods are inspired by Aleksandrov and Pogolorov's method to construct weak solutions to Monge-Ampère equations. They have been used to show the existence of solutions to a reflector design problem in anidolic optics. More recently, a Newton algorithm was introduced to solve associated large-scale optimal transport problems (whose discretization involve up to 100 million Dirac masses). The convergence of this algorithm has been studied for cost function satisfying the so-called Ma-Trudinger-Wang condition. Some problems arising in anidolic optics are not associated to optimal transport problems but to the more general family of prescribed jacobian equations. This is in particular the case for problems in anidolic optics where the target is at finite distance (so-called near-field problems). Prescribed jacobian equations also appear in economy, notably in matching and principal-agent problems. The aim of this PhD proposal is to improve and extend semi-discrete methods for optimal transport to prescribed jacobian equations, in particular arising from anidolic optics. More precisely, there will be two research directions: - Resolution of prescribed jacobian equations. The analysis of Newton's method for optimal transport relies on the so-called Ma-Trudinger-Wang condition. This condition has been extended to generated jacobian equations by Trudinger. A first aspect of the PhD will consist in using Trudinger's condition to analyse a similar Newton's algorithm for GJE. Numerical tests suggest that GJE can be approximated by a sequence of optimal transport problems; the mathematical justification of this approach will be a second aspect of the PhD. Problems are both theoretical (proposal of a numerical scheme and convergence study) and practical. - Application to practical problems from non-imaging optics and economy. These algorithms will then be adapted to various near-field problems from anidolic optics. The remainder of the PhD is more open, and might be devoted to the study of problems from economics involving GJE, using in particular the numerical methods developed in the first part.