Etude numérique de modèles dispersifs en eaux peu profondes

Numerical study of dispersive shallow water models

• Auteur / Autrice : Meriem ZEFZOUF
• Direction : Fabien Marche
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Soutenance le 05/07/2022
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Bruno Koobus
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabien Marche, Bruno Koobus, Daniel Le Roux, Lisl Weynans, Maria Kazakova, Bijan Mohammadi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Le Roux, Lisl Weynans

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments finis, Méthode des

Tourbillons (mécanique des fluides)

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles

Éléments-Finis

Vorticité

Partial derivative equations

Finite elements

Vorticity

Résumé

Dans le contexte actuel de réchauffement climatique, il est important de disposer d'outils mathématiques performants et précis permettant de modéliser et simuler les phénomènes naturels extrêmes dont la fréquence d'occurrence augmente. En particulier, l'étude des risques liés à la propagation et aux transformations des vagues en milieu littoral devient fondamentale. Pour y parvenir, il est nécessaire de mettre au point et d'étudier : d'une part des modèles mathématiques bien posés, traduisant avec fidélité les processus physiques impliqués, d'autre part des méthodes numériques adaptées aux particularités des modèles proposés et permettant de réaliser des simulations numériques pertinentes.Ainsi, nous nous intéressons dans cette thèse au régime d'écoulement particulier "shallow water" et travaillons avec des modèles asymptotiques formant des systèmes d'équations aux dérivées partielles dispersives, incluant des effets fortement non-linéaires.Nous procédons à la conception et à l'analyse de formulations discrètes de type éléments-finis discontinus pour des modèles de type Green-Naghdi, incluant de nouveaux termes avec vorticité générale, permettant de prendre en compte les interactions non-linéaires entre vagues et courants.

In the current context of global warming, the development of new strategies for preventing risks of coastal submersion associated with storms becomes crucial. Such strategies should rely on accurate numerical simulations. To achieve this, it is necessary on one hand to work with suitable mathematical models, with a good description of all the physical processes at stake, and on the other hand to design new numerical methods able to capture the particular assets of the models. Hence, the goal of this work is to contribute to the development of new numerical tools dedicated to the approximations of several shallow water asymptotics with weakly dispersive and fully nonlinear effects: namely the Green-naghdi equations and the rotational Green-Naghdi equations which include new terms able to account for nonlinear wave-current interactions. We develop two new discrete formulations belonging to the family of discontinuous Galerkin schemes: one for the elliptic problem associated with the Green-Naghdi dispersive terms, which is proved to be coercive, leading to an invertible matrix, and one for the rotational Green-Naghdi equations, ensuring the positivity of the water height and the enstrophy.