Théorie et pratique des Transformations Globales

par Alexandre Fernandez

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Pierre Valarcher.


  • Résumé

    Les transformations globales sont un nouveau formalisme visant à décrire les systèmes dynamiques synchrones, locaux et déterministes sur un espace dynamique. Les automates cellulaires et systèmes de Lindenmayer sont deux exemples classiques de ces systèmes et les multiples tentatives de les étendre à d'autres espaces dynamiques mènent naturellement à la proposition des transformations globales. Ce travail porte dans deux directions. D'une part, les fondations théoriques sont développées afin d'obtenir une méthode applicable à une grande variété de situations pratiques. D'autre part, la généricité de l'approche doit être démontrée. Il est alors est utile de voir comment des systèmes connus peuvent être exprimés en tant que transformations globales ou comment utiliser cette méthode pour concevoir de nouveaux systèmes. Dans ce but, chacune des contributions de ce travail utilise comme illustration un type d'espace différent. Le premier chapitre se concentre sur l'introduction de la méthode dans toute sa généralité. En effet, ce formalisme est paramétré par une description catégorique de l'espace manipulé. Il est exposé de manière opérationnelle : la conception d'une transformation globale à l'aide d'un jeu de règles locales est d'abord présentée et son application sur un objet donné est décrite à l'aide de trois étapes de calculs. Cette partie est illustrée par l'instanciation des systèmes de Lindenmayer avec et sans contexte. Le second chapitre se concentre sur l'étude des propriétés formelles des transformations globales, en particulier à travers leur relation avec le concept catégorique d'extension de Kan. Cela permet la caractérisation du comportement global des transformations globales comme une extension optimale d'un jeu de règles locales, et exhibe les propriétés 2-catégoriques du formalisme. Cette construction est illustrée à travers les automates cellulaires afin d'étudier la relation entre une fonction de transition locale et la fonction de transition globale correspondante. Ensuite, les propriétés calculatoires des transformations globales sont étudiées dans le but de la réalisation d'un programme. La conception d'un algorithme générique est réalisée en formulant les étapes de calcul à l'aide de modules plus simples. Dans cette optique, ces modules sont recomposés afin de construire un algorithme de réécriture incrémental. Ces considérations algorithmiques sont réalisées à travers le prisme de la réécriture de graphes. En particulier, ce chapitre se concentre sur les transformations globales de graphes qui préservent les morphismes injectifs, et donne un critère local sur les règles qui implique cette propriété. Le document se termine par l'étude du non-déterminisme dans les transformations globales. Leur définition est expérimentée à l'aide de catégories dont les objets sont des familles d'objets d'une catégorie sous-jacente. La construction obtenue envoie des objets vers des familles d'objets et ne peut donc pas être itérée en utilisant la composition usuelle. Ce problème est résolu à l'aide des aspects monadiques de cette construction qui sont utilisées pour définir la composition dans un autre contexte 2-catégorique. Les aspects non-locaux de certains systèmes non déterministes spatialisés sont aussi étudiés à travers la notion de corrélation spatiale. Il est montré que, malgré une caractérisation à travers des règles locales, certaines dépendances entre des choix non déterministes au niveau local peuvent induire des dépendances globales, ce qui peut être interprété comme des effets non-locaux. De la même manière que la préservation des injections pour les graphes, l'absence de corrélations des transformations globales est montrée décidable seulement à l'aide des règles locales.

  • Titre traduit

    Theory and practice of Global Transformations


  • Résumé

    Global Transformations is a recent formalism which captures synchronous, local and deterministic spatialized discrete dynamical systems with dynamical space. Two well-known examples of such systems are Cellular Automata and Lindenmayer Systems, and the many attempts of extensions dealing with dynamic spaces leads naturally to the proposition of global transformation. The aim of this work is two-fold. On the one hand, the present work develops the theoretical foundations of global transformations in order to get a framework applicable to a wide variety of practical situations. On the other hand, the genericity of the approach must be demonstrated. It is then useful to see how common systems can be retrieved, or new systems can be designed using this method. So, for each contribution, a different kind of spatial structure has been considered as an illustration. In the first chapter, global transformations are introduced formally in their full generality. The proposed framework is indeed parameterized by the manipulated structure, which is abstracted by the means of a category. It is discussed in an operational fashion: the process of designing a global transformation through a system of local rules is first discussed, and its application on a given object is described through three computation steps. The chapter exemplifies the global transformation construction by instantiating context-free and context-sensitive L-systems. The second chapter investigates deeper the formal properties of global transformations by exploring their strong relationship with the categorical concept of Kan extension. This permits a universal characterization of the global behavior of global transformations as an optimal extension of a rule system, and exhibits the 2-categorical features of the formalism. The construction is exemplified with cellular automata to emphasize the relations between the local transition function and the global transition function. Then, following a software realization, the computational features of global transformations are discussed. A generic algorithm is designed through the formulation of the computation steps into simpler building blocks. In this perspective, these simpler building blocks are recomposed to give rise to an online rewriting algorithm. These algorithmic considerations are done through the prism of graph rewriting. In particular, the chapter focuses on global transformations of graphs that preserve injective morphisms, and gives a local criterion on the rules that implies this global property. The document ends with the study of non-determinism in global transformations. Their definition is experimented using categories, where objects are families of objects of an underlying category. The obtained construction maps objects to families of objects and therefore cannot be iterated using the usual composition. To solve this issue, the monadic features of the construction are used to define composition in another 2-categorical context. Non-local features of some non-deterministic spatialized systems are also discussed through the notion of spatial correlation. It is shown that, albeit being characterized through local rules, dependencies in the non-deterministic choices may lead to some kind of incompatibilities, which induces non-local effects. Similarly to injection preservation for graphs, the correlation-freeness of a global transformation is shown to be decidable only by means of the local rules.