Méthodes probabilistes en EDP : applications aux équations dispersives et en mécanique des fluides

Probabilistic methods in PDE : application to dispersive and fluid equations

• Auteur / Autrice : Mickaël Latocca
• Direction : Isabelle Gallagher, Nicolas Burq
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/06/2021
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Patrick Gérard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Isabelle Gallagher, Nicolas Burq, Patrick Gérard, Benoît Grébert, Valeria Banica, Sergej B. Kuksin, Nikolay Tzvetkov
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Benoît Grébert, Tadahiro Oh

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Mots clés libres

Aléatoire

Équation

Différentielle

Random

Equation

Differential

Résumé

Cette thèse étudie l'influence des données initiales aléatoires dans les équations aux dérivées partielles qui peuvent être dispersives ou provenir de la mécanique des fluides. L'aléatoire permet la construction de solutions locales, globales et, dans certains cas, l'étude du comportement asymptotique alors qu’aucune théorie déterministe n'est connue. Les principales méthodes aléatoires pour les équations aux dérivées partielles sont exposées dans les deux premiers chapitres puis, dans le chapitre 3, on obtient l'existence presque-sûre de solutions faibles et globales pour des équations d'ondes non-linéaires, à un niveau de régularité plus faible que celui de l'énergie. Dans le chapitre 4, on construit des solutions globales aux équations de Schrödinger non-linéaires posées sur l'espace euclidien. Ces solutions sont construites à un très faible niveau de régularité et exhibent un comportement de diffusion en temps long. Le chapitre 5 se concentre sur l'étude de la croissance des normes de Sobolev pour les solutions des équations d'Euler à l'aide de mesures invariantes produites à un haut niveau de régularité. Enfin, le dernier chapitre étudie le problème de Cauchy local pour les équations de Schrödinger non-linéaires posées pour le laplacien de Grushin. On construit de façon probabiliste des solutions à un niveau de régularité plus faible que la théorie déterministe.

This dissertation studies the effect of the randomisation of initial data for dispersive and fluid partial differential equations. Randomness makes possible the construction of local and global solutions, and allows in some cases the study of the asymptotic behaviour in situations for which no deterministic theory is known. The results of this dissertation are proven using variations of two important methods which are exposed in Chapter 2. In Chapter 3 we obtain the almost-sure existence of weak and global solutions for nonlinear wave equations at a lower level of regularity than the energy level. In Chapter 4 we construct global solutions to nonlinear Schrödinger equations on the Euclidean space. These solutions are of very low regularity and scatter. Chapter 5 focuses on the study of the growth of Sobolev norms for solutions of the Euler equations using invariant measures produced at high regularity. Finally, the last chapter studies the local Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equations posed for the Grushin Laplacian. Using a probabilistic method, we construct solutions at a lower level of regularity than what the best deterministic theory can produce.