Tessellations de Voronoï généralisées : modélisation CAO, propriétés statistiques et application à l'homogénéisation du comportement des agrégats polycristallins

Generalised Voronoi tesselations : CAD modelling, statistical properties and application to the homogenisation of the behaviour of polycrystalline aggregates

• Auteur / Autrice : Vincent Loret
• Direction : Zhi-Qiang Feng, Gaëtan Hello
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique des matériaux
• Date : Soutenance le 12/12/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences Mécaniques et Energétiques, Matériaux et Géosciences
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mécanique et d'Energétique de l'université d'Evry (Evry, Essonne)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université d'Évry Val d'Essonne
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Sciences de l'ingénierie et des systèmes (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Renald Brenner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabrice Barbe, Kanit Toufik, Pierre Calka
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fabrice Barbe, Kanit Toufik

Mots clés

Mots clés libres

Agrégats polycristallins

Diagramme de Voronoï

Homogénéisation

Polycrystalline aggregrate

Voronoi diagram

Homogenization

Résumé

De nombreux matériaux hétérogènes peuvent voir leur architecture représentée géométriquement au moyen de Diagrammes De Voronoi (DDV). Les agrégats polycristallins en particulier sont ainsi couramment modélisés par des tessellations de Laguerre qui généralisent les DDV de base. Cette classe de DDV a été bien étudiée des points de vue des algorithmes permettant de les engendrer et de leurs propriétés statistiques. Elle constitue en pratique le standard pour la modélisation du comportement des polycristaux que ce soit à partir d'une géométrie initiale idéalisée ou d'une géométrie reconstruite à partir de données expérimentales. Toutefois, avec cette approche les facettes des grains sont par nature limitées à être planes. Cette limitation interdit donc l'espoir de pouvoir représenter des architectures polycristallines dotées d'interfaces courbes. Les travaux menés dans cette thèse visent donc à proposer une nouvelle approche pour la génération de tessellations de Voronoi généralisées permettant de gérer à la fois des facettes planes et courbes. Cette nouvelle approche s'appuie sur les concepts de DDV associés à des fonctions-distances non-euclidiennes comme par exemple Multiplicatively Weighted Voronoi Diagram (MWVD) ou Additively Weighted Voronoi Diagram (AWVD). La génération de ces DDV généralisés ne s'appuie pas ici sur des algorithmes issus de travaux de géométrie algorithmique en raison de leur relatif manque de maturité ou de disponibilité comparé à ceux portant sur les tessellations de Laguerre. L'approche retenue s'appuie sur l'idée que chaque cellule dans un DDV peut être envisagée comme le résultat d'une succession d'opérations booléennes représentant un processus de taille analogue à celui accompli sur une pierre précieuse brute. Ces opérations booléennes sont ici réalisées dans l'environnement CAO proposé par le logiciel open-source FreeCAD qui exploite les librairies de modélisation 3D OpenCascade. Les algorithmes développés et les programmes associés permettent la génération tant en 2D qu'en 3D de DDV classiques, de tessellations de Laguerre, de MWVD, de AWVD et autres. Au moyen de ces modèles numériques de DDV généralisés il devient alors possible d'en étudier les propriétés géométriques d'un point de vue statistique et de produire ainsi, pour certaines classes de DDV, des données à priori inédites. Enfin, pour en revenir au contexte initial de ces travaux sur la modélisation des polycristaux, il devient alors également possible d'étudier les comportements mécanique et thermique de ces DDV généralisés après une étape de maillage des modèles CAO d'agrégats. Les calculs d'homogénéisation réalisés au moyen de solveurs Eléments-Finis permettent d'étudier l'influence du type de DDV généralisé et de ses paramètres sur le comportement équivalent de l'agrégat ainsi modélisé. Pour conclure, l'extension de l'approche proposée à de nouvelles classes de DDV généralisés et son application à de nouvelles études des propriétés statistiques et physiques des agrégats sont présentées.

The architecture of numerous heterogeneous materials can be represented geometrically by the mean of Voronoi Diagrams (VD). Polycrystalline aggregates in particular are frequently modelized using Laguerre tessellations that generalize usual VD. This class of VD has been comprehensively studied regarding both its generating algorithms and the statistical properties of the associated tessellations. This approach constitutes the standard for the modelization of polycrystals behavior from an idealized initial geometry or a geometry identified from experimental data. However, with this approach, grains facets are restricted to be planar. This limitation restricts the ability to represent polycrystalline architectures with curved interfaces. This thesis is intended to propose a new approach for the generation of generalized Voronoi tessellations presenting planar or curved facets. This new approach relies on the concepts of VD related to non-Euclidian distance-functions such as for example Multiplicatively Weighted Voronoi Diagram (MWVD) or Additively Weighted Voronoi Diagram (AWVD). The generation of these generalized VD is not here based on computational geometry algorithms because of their relative lack of maturity and availability compared to those related to Laguerre tessellations. The approach here followed relies on the idea that each cell in a VD can be seen as the result of successive Boolean operations representing a cutting process similar to the one performed on a raw gemstone. These Boolean operations are here realized in the CAD environment proposed by the opensource software FreeCAD that harnesses OpenCascade libraries for 3D modelization. The algorithms developed and the related programs enable the generation of 2D and 3D classical VD, Laguerre tessellations, MWVD, AWVD and others. Thanks to these numerical models of generalized VD it becomes possible to study their geometrical properties on a statistical point of view and to produce, for some VD classes, new statistical data. Eventually, on the side of the initial issue of polycrystals modelization , it becomes as well possible to study the mechanical and thermal behaviors of these generalized VD after a meshing step of the CAD models of the aggregates. Homogenization computations performed with Finite-Element solvers allow to study the influence of the generalized VD type and its parameters over the equivalent behavior of the polycrystal. To conclude, the extension of the proposed approach to new classes of generalized VD and its application to new studies about statistical and physical properties of the aggregates are presented.