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Valeurs zêta des schemas arithmetiques aux entiers négatifs et cohomologie Weil-étale

par Alexey Beshenov

Thèse de doctorat en Mathématiques Pures

Sous la direction de Baptiste Morin et de Bas Edixhoven.

Thèses en préparation à Bordeaux en cotutelle avec l'Université de Leyde (Leiden) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Bordeaux (laboratoire) .


  • Résumé

    Ce travail est dédié à l'interprétation en termes cohomologiques des valeurs spéciales des fonctions zêta des schémas arithmétiques. C'est une partie d'un programme envisagé et initié par Stephen Lichtenbaum (voir par ex. Ann. of Math. vol. 170, 2009), et la théorie cohomologique sous-jacente s'appelle la cohomologie Weil-étale. Plus tard, Baptiste Morin et Matthias Flach ont donné une construction de la cohomologie Weil-étale en utilisant les complexes de cycles de Bloch, et ont énoncé une conjecture précise pour les valeurs spéciales des schémas arithmétiques propres et réguliers, en tout entier s=n. Le but de cette thèse est d'étudier les valeurs spéciales des schémas arithmétiques arbitraires (éventuellement singuliers ou non-propres) lorsque l'on se restreint au cas n < 0. Suivant les idées de Flach et Morin, les complexes Weil-étale sont définis pour n < 0 pour les schémas arithmétiques arbitraires, sous des conjectures standards sur la génération finie de la cohomologie motivique. Ensuite, il est énoncé comme une conjecture de quelle manière ces complexes sont liés aux valeurs spéciales. Pour les schémas propres et réguliers, cette conjecture est équivalente a la conjecture de Flach et Morin, qui correspond aussi à la conjecture du nombre de Tamagawa. On prouve que la conjecture énoncée dans ce travail est compatible avec la décomposition d'un schéma arbitraire en un sous-schéma ouvert et son complémentaire fermé. On montre aussi que cette conjecture pour un schéma arithmétique X en s=n est équivalente à cette même conjecture pour A^r_X en s=n-r, pour tout r >= 0. Il suit que, en partant des schémas pour lesquels la conjecture est connue, on peut construire de nouveaux schémas, éventuellement singuliers ou non-propres, pour lesquels la conjecture est également vraie. C'est le principal résultat inconditionnel issu de la machinerie développée dans cette thèse.

  • Titre traduit

    Zeta-values of arithmetic schemes at negative integers and Weil-étale cohomology


  • Résumé

    This work is dedicated to interpreting in cohomological terms the special values of zeta functions of arithmetic schemes. This is a part of the program envisioned and started by Stephen Lichtenbaum (see e.g. Ann. of Math. vol. 170, 2009), and the conjectural underlying cohomology theory is known as Weil-étale cohomology. Later on Baptiste Morin and Matthias Flach gave a construction of Weil-étale cohomology using Bloch's cycle complexes and stated a precise conjecture for the special values of proper regular arithmetic schemes at any integer argument s=n. The goal of this thesis is to study special values of arbitrary arithmetic schemes (possibly singular or non-proper) while restricting to the case n < 0. Following the ideas of Flach and Morin, the Weil-étale complexes are defined for $n < 0$ for arbitrary arithmetic schemes, under standard conjectures about finite generation of motivic cohomology. Then it is stated as a conjecture how these complexes are related to the special values. For proper and regular schemes, this conjecture is equivalent to the conjecture of Flach and Morin, which also corresponds to the Tamagawa number conjecture. We prove that the conjecture stated in this work is compatible with the decomposition of an arbitrary scheme into an open subscheme and its closed complement. We also show that this conjecture for an arithmetic scheme X at s=n is equivalent to the conjecture for A^r_X at s=n-r, for any r >= 0. It follows that, taking as an input the schemes for which the conjecture is known, it is possible to construct new schemes, possibly singular or non-proper, for which the conjecture holds as well. This is the main unconditional outcome of the machinery developed in this thesis.