SIGNALER une erreur

géométrie dérivée différentielle

par Pelle Steffens

Thèse de doctorat en Mathématiques et Modélisation

Sous la direction de Damien Calaque.

Thèses en préparation à l'Université de Montpellier (2022-….) , dans le cadre de École Doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015) , en partenariat avec IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (laboratoire) et de GTA - Equipe de Géométrie, Topologie et Algèbre. (equipe de recherche) .


  • Résumé

    Les espaces de modules en géométrie différentielle , tels que ceux qui apparaissent dans la topologie symplectique et la théorie de jauge, sont construits via la théorie d'intersection d'opérateurs elliptiques non linéaires en dimensions infinies. Ces espaces ne sont souvent pas des variétés lisses en raison de problèmes de transversalité. Le but de ce travail est de résoudre ces problèmes dans le paradigme de la géométrie dérivée dû à Lurie et Toën-Vezzosi. Nous caractérisons l'infini-catégorie des variétés dérivées via une propriété universelle dans la (infini,2)-catégorie des infini-catégories complètes par limites finies et montrons qu'elle admet une description comme l'infini-catégorie des anneaux C-infinis homotopiques simpliciaux de présentation finie. On fait la même chose pour les variétés dérivées à bord, dont on montre qu'elles sont des anneaux C-infinis simpliciaux équipés de structures logarithmiques positives. Nous montrons ensuite que ces objets admettent une bonne théorie des champs dérivés supérieurs et étudions leur théorie de déformation.

  • Titre traduit

    derived differential geometry


  • Résumé

    Moduli spaces in differential geometry, such as those arising in symplectic topology and gauge theory, are constructed via intersection theory of nonlinear elliptic operators in infinite dimensions. These spaces are often not smooth manifolds due to transversality issues. The purpose of this work is to resolve these problems in the paradigm of derived geometry due to Lurie and Toën-Vezzosi. We characterize the infinity-category of derived manifolds via a universal property in the (infinity,2)-category of finitely complete infinity categories and show that it admits a description as the infinity-category of homotopically finitely presented simplicial C-infinity rings. We do the same thing for derived manifolds with corners, which we show are simplicial C-infinity rings equipped with positive log structures. We then show that these objects admit a good theory of higher derived stacks and investigate their deformation theory.