Sur deux questions de crible

About two questions of sieve

• Auteur / Autrice : David Feutrie
• Direction : Cécile Dartyge, Gérald Tenenbaum
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2019
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Joël Rivat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cécile Dartyge, Gérald Tenenbaum, Michel Balazard, Bruno Martin, Youness Lamzouri
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michel Balazard, Bruno Martin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres

Entiers friables

Cribles (mathématiques)

Arithmétique

Mots clés libres

Diviseurs

Progressions arithmétiques

Crible

Entiers ultrafriables

Divisors

Arithmetic progression

Sieves

Ultrafriable integers

Résumé

Cette thèse se divise en deux grandes parties. Le premier chapitre porte sur l’étude du nombre des entiers n’excédant pas x et n’admettant aucun diviseur dans une progression arithmétique a(mod q) donnée. Nous améliorons ici un résultat de Narkiewicz et Radziejewski de 2011 en fournissant une expression différente et plus simple du terme principal et en précisant le terme d’erreur. Les outils principaux sont la méthode de Selberg-Delange et le contour de Hankel. Nous étudions plus en détail le cas particulier où a n’est pas un résidu quadratique modulo q. Nous étendons également notre résultat aux entiers n’admettant aucun diviseur dans un ensemble fini de classes résiduelles modulo q. Le second chapitre est consacré aux entiers ultrafriables dans les progressions arithmé- tiques. Un entier y-ultrafriable est un entier dont toutes les puissances de nombres premiers qui le divisent sont inférieures à y. Nous commençons par étudier la fonction de comptage des ces entiers lorsqu’ils sont premiers à un entier q. Nous donnons ensuite des formules asymptotiques sur le nombre d’entiers y-ultrafriables inférieurs à un entier x et dans une progression arith- métique a modulo q, où q est un module y-friable, c’est-à-dire sans facteur premier supérieur à y. Nos résultats sont valables pour des entiers q, x, y tels que log x « y < x, q < yc/ log log y, où c > 0 est une constante choisie convenablement.

This thesis is divided into two main parts. In the first chapter, we consider the number of integers not exceeding x and admitting no divisor in an arithmetic progression a(mod q) where q is fixed. We improve here a result of Narkiewicz and Radziejewski published in 2011 by providing a different main term with a simpler expression, and we specify the term error. The main tools are the Selberg-Delange method and the Hankel contour. We also study in detail the particular case where a is a quadratic nonresidue modulo q. We also extend our result to the integers which admit no divisor in a finite set of residual classes modulo q. In the second chapter, we study the ultrafriable integers in arithmetic progressions. An integer is said to be y-ultrafriable if no prime power which divide it exceeds y. We begin with the studying of the counting function of these integers when they are coprime to q. Then we give an asymptotic formula about the number of y-ultrafriable integers which don’t exceed a number x and in an arithmetic progression a modulo q, where q is a y-friable modulus, which means that it is without a prime divisor exceeding y. Our results are valid when q, x, y are integers which verify log x « y < x, q < yc/ log log y, where c > 0 is a suitably chosen constant.