Compter des configurations spatiales en dimension impaire avec la torsion de Reidemeister

Counting spatial configurations in odd dimension with the Reidemeister torsion

• Auteur / Autrice : David Leturcq
• Direction : Christine Lescop
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance le 03/07/2020
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Gwénaël Massuyeau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Louis Funar, Jean-Baptiste Meilhan
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alberto Cattaneo, Julien Marché

Mots clés

Mots clés contrôlés

Reidemeister, Torsion de

Théorie des noeuds

Mots clés libres

Noeuds

Polynome d'alexander

Espaces de configurations

Torsion de Reidemeister

Alexander polynomial

Knot-Theory

Configuration spaces

Reidemeister torsion

Résumé

Les nœuds longs étudiés dans cette thèse sont des plongements standard à l'infini de R^n dans un R^{n+2} asymptotique d'homologie entière, pour n impair. Pour ces nœuds, on définit des invariants (Z_k)_{k > 1} à difféomorphismes ambiants triviaux hors d'une boule près. Ces invariants généralisent des invariants (Z_k)_{k>1} définis par Bott, Cattaneo, et Rossi pour les nœuds longs de R^{n+2}, et on donne une définition plus souple de ces invariants. L'invariant Z_k est défini comme une combinaison linéaire d'intégrales de certaines formes différentielles sur des espaces de configurations associés à des graphes ayant 2k sommets, de deux types, et 2k arêtes, de deux types également. Ces formes sont définies en tirant en arrière et en faisant le produit extérieur de (n+1)-formes (appelées formes propagatrices externes) sur l'espace de configurations de deux points de l'espace ambiant et de (n-1)-formes (appelées formes propagatrices internes) sur l'espace de configurations de deux points de R^n. De manière équivalente, en utilisant des chaînes duales à ces formes, on donne une interprétation de Z_k en termes d'intersections algébriques de préimages de chaînes propagatrices. On obtient une formule pour Z_k en fonction de nombres d'enlacement de certains cycles d'une surface dont le bord est le nœud, pour les nœuds virtuellement rectifiables.La classe des nœuds virtuellement rectifiables contient au moins les nœuds rubans longs, et les nœuds longs avec n=1 mod 4. Notre formule exprime les invariants Z_k comme les coefficients du développement en série formelle du logarithme de la torsion de Reidemeister.

In this thesis, long knots are embeddings of the Euclidean space R^n in an asymptotic homology R^{n+2} with a standard behaviour near infinity, for some odd integer n. We define invariants (Z_k)_{k>1} of these knots up to ambient diffeomorphisms that are standard outside a ball. These invariants are a generalization to this wider setting of an invariant (Z_k)_{k>1} of Bott, Cattaneo, and Rossi for long knots in mathbb R^{n+2}. Our definition also applies to long knots in R^{n+2} and it is more flexible than the original one.The Bott-Cattaneo-Rossi invariant Z_k is a linear combination of some integrals of differential forms over configuration spaces associated to some graphs with 2k vertices of two kinds, and 2k edges of two kinds.These forms are products of pullbacks of some (n+1)-forms (called external propagating forms) on the two-point configuration space of the ambient space and of some (n-1)-forms (called internal propagating forms) on the two-point configuration space of R^n.In a dual way, we define Z_k as a combination of algebraic intersections of preimages of some propagating chains in these two two-point configuration spaces.We prove a formula for Z_k in terms of linking numbers of some cycles in a surface bounded by the knot, for virtually rectifiable knots.The class of virtually rectifiable long knots contains at least the long ribbon knots, and all the long knots when n = 1 mod 4.Our formula yields an expression of the Reidemeister torsion in terms of the Z_k.