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Paires duales, Calcul de Weyl et Superalgèbres de Lie

par Allan Merino

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Angela Pasquale et de Tomasz Przebinda.

Thèses en préparation à l'Université de Lorraine , dans le cadre de École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine depuis le 14-10-2013 .


  • Résumé

    Soit W un espace vectoriel réel symplectique muni d'une forme symplectique non-dégénérée et soit Sp=Sp(W) le groupe symplectique correspondant. Une paire duale réductive est un couple G, G' de sous-groupes réductifs de Sp tels que G est le centralisateur de G' et vice-versa. Cette notion a été introduite par Roger Howe dans les années 1970. Le groupe métaplectique MSp est l'unique revêtement double connexe de Sp. On fixe une représentation métaplectique de MSp. Soient MG et MG' respectivement les images réciproques de G et G' dans MSp. La correspondance de Howe affirme que la restriction de la représentation de métaplectique à MG.MG définit une bijection Pi <---> Pi' entre certaines classes d'équivalence de représentations admissibles de MG et de MG'. Comprendre les différents aspects de cette correspondance est un problème central dans plusieurs domaines, y compris la théorie des représentations et l'analyse sur les groupes de Lie. Chaque paire de représentations (Pi, Pi') en correspondance Howe détermine de façon unique une distribution tempérée f = f_ (Pi, Pi'), appelée distribution d'entrelacement, sur l'espace symplectique W. La distribution f a été étudiée à partir de différents points de vue. Si G est compact, elle peut être explicitement calculée à partir du caractère de Pi et on peut utiliser la transformée de Fourier sur l'algèbre de Lie de G' pour obtenir à partir de f le caractère de la représentation correspondante Pi'. Par conséquent, dans ce cas, les distributions d'entrelacement permettent de reconstruire la correspondance de Howe. Roger Howe a également remarqué que la théorie de paires duales réductives peut s'appliquer à des situations où l'un des éléments de la paire est un super groupe de Lie. Plus précisément, il a formulé la notion de paires duales dans la superalgèbre de Lie orthosymplectique osp(n,m). La représentation métaplectique est remplacée par la représentation spinorielle métaplectique de osp(n,m). Dans ce contexte, il y a très peu de connaissances à propos de la correspondance de Howe. Howe et Lu ont étudié pour la double paire (O_ {p, q}, osp (2,2)) dans la superalgèbre de Lie osp (2n, 2n) où n = p + q. Le but de cette thèse est d'étudier les paires duales et la correspondance de Howe dans superalgèbres de Lie, dans le cas particulier où le groupe de Lie est compact. Nous souhaitions introduire un analogue des distributions d'entrelacement dans ce contexte et les calculer explicitement, dans certains cas particuliers, comme dans le cas d'(O_n, osp (2,2)) à l'intérieur de osp (2n, 2n), où la correspondance de Howe est connue. Une étude connexe a été menée en physique théorique et l'un des points de la thèse sera de clarifier les relations.


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