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Sur l'homologie de Hochschild topologique de la K-théorie algébrique des corps finis.

par Eva Honing

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Christian Ausoni.

Thèses en préparation à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) , en partenariat avec Université Sorbonne Paris Nord (Bobigny, Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 1970-....) (établissement de préparation) depuis le 10-09-2013 .


  • Résumé

    Let Fq be a nite eld with q elements, and let K = K(Fq) denote the algebraic K-theory spectrum of Fq. Let p 5 be a prime number coprime to q, and let V (1) denote the mod p and v1 Toda-Smith complex. The purpose of this thesis is to compute the mod p and v1 topological Hochschild homology (THH) of K, denoted V (1) THH(K), as an Fp-algebra. The computations are organized in four dierent cases, depending on the mod p behaviour of the function qn 1. The rst case corresponds to the connective image-of-J spectrum im(j) at p. We rst generalize a spectral sequence of Brun for computing E THH(A;M), where E is a multiplicative homology theory, A a commutative S-algebra and M a connective commutative A-algebra. This spectral sequence is then used to evaluate THH(K;HFp) as an Fp-algebra. We also make use of the Bokstedt spectral sequence in mod p homology (considered by Angeltveit-Rognes in the case of im(j)). Along the way, we simplify Ausoni's computation of V (1)THH(ku), where ku denotes connective complex K-theory. We then compute V (1)THH(K) in the rst two cases.

  • Titre traduit

    Topological Hochschild homology of algebraic K-theory of finite fields


  • Résumé

    Soit Fq un corps ni a q elements. On denote par K = K(Fq) le spectre de la K-theorie algebrique de Fq. Soit p 5 un nombre premier premier a q, et soit V (1) le complexe de Toda-Smith modulo p et v1. Le but de cette these est de calculer l'homologie de Hochschild topologique (THH) de K modulo p et v1, denotee par V (1) THH(K), comme Fp-algebre. Les calculs sont organises en quatre cas differents, dependant du comportement modulo p de la fonction qn 1. Le premier cas correspond a im(j), le spectre connectif \image du J-homomorphisme" en p. Dans un premier temps, on generalise une suite spectrale de Brun pour calculer l'anneau E THH(A;M), ou E est une theorie d'homologie multiplicative, A est une S-algebre commutative et M est une A-algebre commutative connective. Puis, on utilise cette suite spectrale pour evaluer THH(K;HFp) comme Fp-algebre. On se sert aussi de la suite spectrale de Bokstedt en homologie modulo p (consideree par Angeltveit-Rognes dans le cas de im(j)). En cours de route, on simplie le calcul de V (1) THH(ku) par Ausoni, ou ku est la K-theorie topologique complexe connective. Finalement, on calcule V (1) THH(K) dans les deux premiers cas.