Combinatoire des singularités de certaines courbes et hypersurfaces

Combinatorics of singularities of some special curves and hypersurfaces

• Auteur / Autrice : Ali Abbas
• Direction : Abdallah Assi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/09/2017
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA
• Jury : Président / Présidente : Monique Lejeune-Jalabert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Abdallah Assi, Jean-Michel Granger, Guillaume Rond, Hussein Mourtada
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antonio Campillo López, Mark Spivakovsky

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polynômes

Semigroupes

Mots clés libres

Cônes sans droites

Racines approchées

Semigroupes numériques

Nombre de Milnor

Nombre de Tjurina

Line-free cones

Approximate roots

Numerical semigroups

Tjurina number

Milnor number

Résumé

La thèse est constituée de deux parties. Dans la première partie on généralise la Théorie d’Abhyankar-Moh à un type spécial de polynômes, les polynômes libres. Soit f un polynôme non nul de K[[x1, ..., xe]][y] et supposons, moyennement un changement des variables élémentaires, que la composante homogène de plus bas degré du discriminant de f contient une puissance de x1. Une transformation monômiale dans K[[x1, ..., xe]] transforme f en un polynôme quasi-ordinaire avec une racine dans K[[x1n1 , ..., x1ne ]], n ∈ N. En prenant la Préimage de f par le morphisme, nous obtenons une solution y ∈ KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] de f(x1, ..., xe, y) = 0, où KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] est l’anneau des séries fractionnaires dont le support appartient à un cône convexe C. Ceci nous permet de construire l’ensemble des exposants caractéristiques de y, et de généraliser certains des résultats concernant les polynômes quasi-ordinaires au polynôme f. Dans la deuxième partie, nous donnons un algorithme pour calculer le monoïde des degrés du module M = F1A + . . . + FrA oúA = K[f1(t), . . . , fs(t)] et F1, . . . , Fr ∈ K[t]. Nous donnons ensuite des applications concernant le problème de la classification des courbes polynômiales ( C’est-à-dire, des courbes algébriques paramétrées par des polynômes) par rapport à certains de leurs invariants, en utilisant le module de différentielles Kähleriennes.

The thesis is made up of two parts. In the first part we generalize the Abhyankar-Moh theory to a special kind of polynomials, called free polynomials. We take a polynomial f in K[[x1, ..., xe]][y] and by a preliminary change of variables we may assume that the leading term of the discriminant of f contains a power of x1.After a monomial transformation we get a quasi-ordinary polynomial with a root in K[[x1n1 , ..., x1ne ]] for some n ∈ N. By taking the preimage of f we get asolution y ∈ KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] of f(x1, ..., xe, y) = 0,where KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] is the ring of formal fractional power series with support in a specific line free cone C. Then we construct the set of characteristic exponents of y, and we generalize some of the results concerning quasi-ordinary polynomials to f. In the second part, we give a procedure to calculate the monoid of degrees of the module M = F1A + . . . + FrA where A = K[f1, ..., fs] andF1, . . . , Fr ∈ K[t]. Then we give some applications to the problem of the classification of plane polynomial curves (that is, plane algebraic curves parametrized by polynomials) with respect to some of the irinvariants, using the module of Kähler differentials.