Méthodes hybrides d'ordre élevé pour la mécanique des solides non-linéaire

par Nicolas Pignet

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Alexandre Ern.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous intéressons aux développements des méthodes hybrides d'ordre élevé (Hybrid High-Order, HHO, en anglais) pour la mécanique des solides non-linéaire. Les méthodes HHO sont formulées en termes d'inconnues de face portées par le squelette du maillage et d'inconnues dans les cellules qui sont ajoutées pour des raisons d'approximation et de stabilité de la méthode. Ces méthodes présentent de nombreux avantages dans le cadre de la mécanique des solides~: textit{(i)} formulation primale ; textit{(ii)} suppression du verrouillage numérique dû aux problèmes d'incompressibilité ; textit{(iii)} ordre d'approximation arbitraire $kgeq1$ ; textit{(iv)} utilisation de maillages polyédriques avec des interfaces possiblement non-conformes ; et textit{(v)} coûts numériques attractifs grâce à la condensation statique qui permet d'éliminer les inconnues portées par les cellules tout en maintenant un stencil compact. Dans cette thèse, des méthodes HHO en version primale sont développées pour résoudre le problème des grandes déformations hyperélastiques et des petites déformations plastiques. Une extension aux grandes déformations plastiques est ensuite présentée en utilisant le cadre des déformations logarithmiques. Enfin, un couplage avec une approche de type Nitsche a permis de traiter le problème du contact unilatéral de Signorini avec frottement de Tresca. Des taux de convergence optimaux en $h^{k+1}$ ont été prouvés en norme d'énergie. %, ainsi que la robustesse à la limite incompressible. L'ensemble de ces méthodes ont été implémentées à la fois dans la librairie open-source DiSk++ et dans le code de calcul industriel open-source code_aster. De nombreux cas-tests bi- et tridimensionnels ont été réalisés afin de valider ces méthodes et de les comparer par rapport aux méthodes éléments finis $H^1$-conformes et mixtes.

  • Titre traduit

    Hybrid High-Order methods for nonlinear solid mechanics


  • Résumé

    In this thesis, we are interested in the devising of Hybrid High-Order (HHO) methods for nonlinear solid mechanics. HHO methods are formulated in terms of face unknowns on the mesh skeleton. Cell unknowns are also introduced for the stability and approximation properties of the method. HHO methods offer several advantages in solid mechanics: textit{(i)} primal formulation; textit{(ii)} free of volumetric locking due to incompressibility constraints; textit{(iii)} arbitrary approximation order $kgeq1$ ; textit{(iv)} support of polyhedral meshes with possibly non-matching interfaces; and textit{(v)} attractive computational costs due to the static condensation to eliminate locally cell unknowns while keeping a compact stencil. In this thesis, primal HHO methods are devised to solve the problem of finite hyperelastic deformations and small plastic deformations. An extension to finite elastoplastic deformations is also presented within a logarithmic strain framework. Finally, a combination with Nitsche's approach allows us to impose weakly the unilateral contact and Tresca friction conditions. Optimal convergence rates of order $h^{k+1}$ are proved in the energy-norm. All these methods have been implemented in both the open-source library DiSk++ and the open-source industrial software code_aster. Various two- and three-dimensional benchmarks are considered to validate these methods and compare them with $H^1$-conforming and mixed finite element methods.