Géométrie et topologie des processus périodiquement corrélés induit par la dilation : Application à l'étude de la variabilité des épidémies pédiatriques saisonnières

Geometry and topology of periodically correlated processes : Analysis of the variability of seasonal pediatric epidemics

• Auteur / Autrice : Maël Dugast
• Direction : Eric Marcon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 21/12/2018
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Institut national des sciences appliquées (Lyon ; 1957-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : DISP - Décision et Information pour les Systèmes de Production (Lyon, INSA) - Décision et Information pour les Systèmes de Production / DISP
• Jury : Président / Présidente : Stéphanie Allassonnière
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eric Marcon, Stéphanie Allassonnière, Xavier Pennec, Sylvie Viguier-Pla, Frédéric Barbaresco, Pierre Baudot, Guillaume Bouleux, Khaled Hadj Hamou
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Xavier Pennec, Sylvie Viguier-Pla

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lie, Algèbres de

Processus stochastiques

Topologie

Approximation numérique

Mathématiques

Mots clés libres

Mathematiques appliquées

Géométrie stochastique

Topologie

Groupe de Lie

Approximation Linéaire

Matrice de dilatation

Applied Mathematics

Stochastic geometry

Topology

Lie group

Linear approximation

Expansion matrix

Résumé

Chaque année lors de la période hivernale, des phénomènes épidémiques affectent l’organisation des services d’urgences pédiatriques et dégradent la qualité de la réponse fournie. Ces phénomènes présentent une forte variabilité qui rend leur analyse difficile. Nous nous proposons d’étudier cette volatilité pour apporter une vision nouvelle et éclairante sur le comportement de ces épidémies. Pour ce faire, nous avons adopté une vision géométrique et topologique originale directement issue d’une application de la théorie de la dilation: le processus de variabilité étant périodiquement corrélé, cette théorie fournit un ensemble de matrices dites de dilations qui portent toute l’information utile sur ce processus. Cet ensemble de matrices nous permet de représenter les processus stochastiques comme des éléments d’un groupe de Lie particulier, à savoir le groupe de Lie constitué de l’ensemble des courbes sur une variété. Il est alors possible de comparer des processus par ce biais. Pour avoir une perception plus intuitive du processus de variabilité, nous nous sommes ensuite concentrés sur le nuage de points formé par l’ensemble des matrices de dilations. En effet, nous souhaitons mettre en évidence une relation entre la forme temporelle d’un processus et l’organisation de ces matrices de dilations. Nous avons utilisé et développé des outils d’homologie persistante et avons établi un lien entre la désorganisation de ce nuage de points et le type de processus sous-jacents. Enfin nous avons appliqué ces méthodes directement sur le processus de variabilité pour pouvoir détecter le déclenchement de l’épidémie. Ainsi nous avons établi un cadre complet et cohérent, à la fois théorique et appliqué pour répondre à notre problématique.

Each year emergency department are faced with epidemics that affect their organisation and deteriorate the quality of the cares. The analyse of these outbreak is tough due to their huge variability. We aim to study these phenomenon and to bring out a new paradigm in the analysis of their behavior. With this aim in mind, we propose to tackle this problem through geometry and topology: the variability process being periodically correlated, the theory of dilation exhibit a set of matrices that carry all the information about this process. This set of matrices allow to map the process into a Lie group, defined as the set of all curves on a manifold. Thus, it is possible to compare stochastic processes using properties of Lie groups. Then, we consider the point cloud formed by the set of dilation matrices, to gain more intuitions about the underlying process. We proved a relation between the temporal aspect of the signal and the structure of the set of its dilation matrices. We used and developped persistent homology tools, and were able to classify non-stationary processes. Eventually, we implement these techniques directly on the process of arrivals to detect the trigger of the epidemics. Overall we established a complete and a coherent framework, both theoretical and practical.