Un calcul des zonotopes complexes pour l'invariance et la vérification de la stabilité des systèmes hybrides

A Calculus of Complex Zonotopes for Invariance and Stability Verification of Hybrid Systems

• Auteur / Autrice : Santosh Arvind Adimoolam
• Direction : Thao Dang
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Informatique
• Date : Soutenance le 16/05/2018
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Verimag (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Laurent Fribourg
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Luc Jaulin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sylvie Putot, Mahesh Viswanathan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polytopes

Mots clés libres

Zonotopes complexes

Vérification

Systèmes hybride

Domaine abstrait

Invariant

Complex Zonotopes

Verification

Hybrid system

Abstract Domain

Invariant

Résumé

Le calcul des ensembles atteignables est une approche de facto utilisée dans de nombreuses méthodes de vérification formelles pour les systèmes hybrides. Mais le calcul exact de l'ensemble atteignable est un problème insurmontable pour de nombreux types de systèmes hybrides, soit en raison de l'indécidabilité ou de la complexité de calcul élevée. Alternativement, beaucoup de recherches ont été axées sur l'utilisation de représentations d'ensembles qui peuvent être manipulées efficacement pour calculer une surestimation suffisamment précise de l'ensemble atteignable. Les zonotopes sont une représentation utile de l'ensemble dans l'analyse de l'accessibilité en raison de leur fermeture et de leur faible complexité pour le calcul de la transformation linéaire et des opérations sommaires de Minkowski. Mais pour approximer les ensembles de temps non bornés atteignables par des invariants positifs, les zonotopes ont l'inconvénient suivant. L'efficacité d'une représentation d'ensemble pour calculer un invariant positif dépend de l'encodage efficace des directions de convergence des états vers un équilibre. Dans un système hybride affine, certaines des directions de convergence peuvent être codées par les vecteurs propres à valeur complexe des matrices de transformation. Mais la représentation zonotopique ne peut pas exploiter la structure propre complexe des matrices de transformation car elle n'a que des générateurs à valeur réelle.Par conséquent, nous étendons les zonotopes réels au domaine de valeur complexe d'une manière qui peut capturer la contraction le long de vecteurs évalués complexes. Cela donne une nouvelle représentation d'ensemble appelée zonotope complexe. Géométriquement, les zonotopes complexes représentent une classe plus large d'ensembles qui comprennent des ensembles non polytopiques ainsi que des zonotopes polytopiques. Ils conservent le mérite des zonotopes réels que nous pouvons effectuer efficacement la transformation linéaire et les opérations sommaires de Minkowski et calculer la fonction de support. De plus, nous montrons qu'ils peuvent capturer la contraction le long de vecteurs propres complexes. De plus, nous développons des approximations traitables par calcul pour la vérification d'inclusion et l'intersection avec des demi-espaces. En utilisant ces opérations sur des zonotopes complexes, nous développons des programmes convexes pour vérifier les propriétés d'invariance linéaire des systèmes hybrides affines à temps discret et la stabilité exponentielle des systèmes impulsifs linéaires. Nos expériences sur certains exemples de benchmarks démontrent l'efficacité des techniques de vérification basées sur des zonotopes complexes.

Computing reachable sets is a de facto approach used in many formal verification methods for hybrid systems. But exact computation of the reachable set is an in- tractable problem for many kinds of hybrid systems, either due to undecidability or high computational complexity. Alternatively, quite a lot of research has been focused on using set representations that can be efficiently manipulated to com- pute sufficiently accurate over-approximation of the reachable set. Zonotopes are a useful set representation in reachability analysis because of their closure and low complexity for computing linear transformation and Minkowski sum operations. But for approximating the unbounded time reachable sets by positive invariants, zonotopes have the following drawback. The effectiveness of a set representation for computing a positive invariant depends on efficiently encoding the directions for convergence of the states to an equilibrium. In an affine hybrid system, some of the directions for convergence can be encoded by the complex valued eigen- vectors of the transformation matrices. But the zonotope representation can not exploit the complex eigenstructure of the transformation matrices because it only has real valued generators.Therefore, we extend real zonotopes to the complex valued domain in a way that can capture contraction along complex valued vectors. This yields a new set representation called complex zonotope. Geometrically, complex zonotopes repre- sent a wider class of sets that include some non-polytopic sets as well as polytopic zonotopes. They retain the merit of real zonotopes that we can efficiently perform linear transformation and Minkowski sum operations and compute the support function. Additionally, we show that they can capture contraction along complex valued eigenvectors. Furthermore, we develop computationally tractable approx- imations for inclusion-checking and intersection with half-spaces. Using these set operations on complex zonotopes, we develop convex programs to verify lin- ear invariance properties of discrete time affine hybrid systems and exponential stability of linear impulsive systems. Our experiments on some benchmark exam- ples demonstrate the efficiency of the verification techniques based on complex zonotopes.