Régularité des solutions de problèmes elliptiques ou paraboliques avec des données sous forme de mesure

Regularity of the solutions of elliptic or parabolic problems with data measure

• Auteur / Autrice : Sadjiya Ariche
• Direction : Serge Nicaise, Colette De Coster
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 25/06/2015
• Etablissement(s) : Valenciennes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et leurs applications de Valenciennes (2006-2021) - Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes- EA 45 / LAMAV
• Partenaire(s) de recherche : Communauté d'Universités et Etablissements (ComUE) : Communauté d'universités et d'établissements Lille Nord de France (2009-2013)
• Jury : Président / Présidente : Felix Ali Mehmeti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serge Nicaise, Colette De Coster, Cherif Amrouche, Grégory Vial, Augusto Ponce
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cherif Amrouche, Grégory Vial

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fourier, Transformations de

Mellin, Transformation de

Helmholtz, Équation d'

Sobolev, Espaces de

Fonctions harmoniques

Mots clés libres

Régularité

Espace de Sobolev à poids

Problèmes elliptiques

Equation de la chaleur

Mesure de Dirac

Fracture courbe

Equation de Helmholtz

Transformée de Fourier

Transformée de Mellin.

Regularity

Weighted Sobolev spaces

Elliptic problems

Heat equation

Dirac measure

Fracture curve

Helmholtz equation

Fourier transformation

Mellin transformation.

Résumé

Dans cette thèse on étudie la régularité de problèmes elliptiques (Laplace, Helmholtz) ou paraboliques (équation de la chaleur) avec donnée mesure dans divers cadres géométriques. Ainsi, on considère pour les seconds membres des masses de Dirac en un point, sur une ligne infinie, semi-infinie ou finie, et également sur une courbe régulière. Les solutions de ces problèmes étant singulières sur la fracture (modélisée par la masse de Dirac dans le second membre), on étudie la régularité dans des espaces de Sobolev avec poids. Dans le cas d'une fracture droite, on utilise une technique classique qui consiste à appliquer une transformée de Fourier ou de Mellin à l'équation de Laplace. Ceci nous amène à étudier l'équation de Helmholtz en 2D. Pour ce dernier, on montre des estimations uniformes qui permettent ensuite de prendre la transformée inverse et d'obtenir le résultat de régularité attendu. De même, la transformée de Laplace transforme l'équation de la chaleur dans la même équation de Helmholtz en 2D. Dans le cas d'une fracture courbe régulière, grâce aux résultats de [D'angelo:2012], en utilisant un argument de localisation et un recouvrement dyadique, on obtient une régularité améliorée de la solution toujours dans les espaces de Sobolev avec poids.

In this thesis, we study the regularity of elliptic problems (Laplace, Helmholtz) or parabolic problems (heat equation) with measure data in different geometric frames. Thus, we consider for the second members, Dirac masses at a point, on a line, on a half-line, or on a bounded segment, and also on a regular curve. As the solutions of these problems are singular on the fracture (modeled by Dirac mass in the second member), we study their regularity in weighted Sobolev spaces. In the case of a straight fracture, using Fourier or Mellin technique reduces the problem in dimension three to a Helmholtz problem in dimension two. For the latter, we prove uniform estimates, which are then used to apply the inverse transform and to obtain the expected regularity result. Similarly, the Laplace transformation transforms the heat equation into the same Helmholtz equation in 2D. In the case of a smooth curve fracture, thanks to the results of [D'angelo:2012], using a localization argument and a dyadic recovery we get an improved smoothness of the solution always in weighted Sobolev spaces.