Calcul de paires invariantes et solvants matriciels

Computation of invariant pairs and matrix solvents

• Auteur / Autrice : Esteban Segura ugalde
• Direction : Moulay Abdelfattah Barkatou, Paola Boito
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques et applications
• Date : Soutenance le 01/07/2015
• Etablissement(s) : Limoges
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM
• Jury : Président / Présidente : Bernard Mourrain
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Moulay Abdelfattah Barkatou, Paola Boito, Nicolas Brisebarre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Françoise Tisseur, Bernhard Beckermann, Tetsuya Sakurai

Mots clés

Mots clés contrôlés

Invariants différentiels

Solvants

Polynômes matriciels

Mots clés libres

Polynômes de matrices

Paires invariantes

Solvants

Intégrale de contour

Nombre de conditionnement

Erreur rétrograde

Faisceaux de matrices de Hankel

Méthode de Newton

Matrix polynomials

Invariant pairs

Solvents

Contour integral

Condition number

Backward error

Hankel pencils

Newton's method

Résumé

Cette thèse porte sur certains aspects symboliques-numériques du problème des paires invariantes pour les polynômes de matrices. Les paires invariantes généralisent la définition de valeur propre / vecteur propre et correspondent à la notion de sous-espaces invariants pour le cas nonlinéaire. Elles trouvent leurs applications dans le calcul numérique de plusieurs valeurs propres d’un polynôme de matrices; elles présentent aussi un intérêt dans le contexte des systèmes différentiels. En utilisant une approche basée sur les intégrales de contour, nous déterminons des expressions du nombre de conditionnement et de l’erreur rétrograde pour le problème du calcul des paires invariantes. Ensuite, nous adaptons la méthode des moments de Sakurai-Sugiura au calcul des paires invariantes et nous étudions le comportement de la version scalaire et par blocs de la méthode en présence de valeurs propres multiples. Le résultats obtenus à l’aide des approches directes peuvent éventuellement être améliorés numériquement grâce à une méthode itérative: nous proposons ici une comparaison de deux variantes de la méthode de Newton appliquée aux paires invariantes. Le problème des solvants de matrices est très proche de celui des paires invariants. Le résultats présentés ci-dessus sont donc appliqués au cas des solvants pour obtenir des expressions du nombre de conditionnement et de l’erreur, et un algorithme de calcul basé sur la méthode des moments. De plus, nous étudions le lien entre le problème des solvants et la transformation des polynômes de matrices en forme triangulaire.

In this thesis, we study some symbolic-numeric aspects of the invariant pair problem for matrix polynomials. Invariant pairs extend the notion of eigenvalue-eigenvector pairs, providing a counterpart of invariant subspaces for the nonlinear case. They have applications in the numeric computation of several eigenvalues of a matrix polynomial; they also present an interest in the context of differential systems. Here, a contour integral formulation is applied to compute condition numbers and backward errors for invariant pairs. We then adapt the Sakurai-Sugiura moment method to the computation of invariant pairs, including some classes of problems that have multiple eigenvalues, and we analyze the behavior of the scalar and block versions of the method in presence of different multiplicity patterns. Results obtained via direct approaches may need to be refined numerically using an iterative method: here we study and compare two variants of Newton’s method applied to the invariant pair problem. The matrix solvent problem is closely related to invariant pairs. Therefore, we specialize our results on invariant pairs to the case of matrix solvents, thus obtaining formulations for the condition number and backward errors, and a moment-based computational approach. Furthermore, we investigate the relation between the matrix solvent problem and the triangularization of matrix polynomials.