Methods for finite-time average consensus protocols design, network robustness assessment and network topology reconstruction

par Thi-Minh-Dung Tran

Thèse de doctorat en Automatique et productique

Sous la direction de Carlos Canudas-de-Wit et de Alain Y. Kibangou.

Le président du jury était Christian Commault.

Le jury était composé de Antoine Girard, Fabio Morbidi, Walid Hachem.

Les rapporteurs étaient Alessandro Giua, Jean-Marie Gorce.

  • Titre traduit

    Méthodes distribuées pour la conception de protocoles de consensus moyenné en temps fini, l'évaluation de la robustesse du réseau et la reconstruction de la topologie


  • Résumé

    Le consensus des systèmes multi-agents a eu une attention considérable au cours de la dernière décennie. Le consensus est un processus coopératif dans lequel les agents interagissent afin de parvenir à un accord. La plupart des études se sont engagés à l'analyse de l'état d'équilibre du comportement de ce processus. Toutefois, au cours de la transitoire de ce processus une énorme quantité de données est produite. Dans cette thèse, notre objectif est d'exploiter les données produites au cours de la transitoire d'algorithmes de consensus moyenne asymptotique afin de concevoir des protocoles de consensus moyenne en temps fini, évaluer la robustesse du graphique, et éventuellement récupérer la topologie du graphe de manière distribuée. Le consensus de moyenne en temps fini garantit un temps d'exécution minimal qui peut assurer l'efficacité et la précision des algorithmes distribués complexes dans lesquels il est impliqué. Nous nous concentrons d'abord sur l'étape de configuration consacrée à la conception de protocoles de consensus qui garantissent la convergence de la moyenne exacte dans un nombre donné d'étapes. En considérant des réseaux d'agents modélisés avec des graphes non orientés connectés, nous formulons le problème de la factorisation de la matrice de moyenne et étudions des solutions distribuées à ce problème. Puisque, les appareils communicants doivent apprendre leur environnement avant d'établir des liens de communication, nous suggérons l'utilisation de séquences d'apprentissage afin de résoudre le problème de la factorisation. Ensuite, un algorithme semblable à l'algorithme de rétro-propagation du gradient est proposé pour résoudre un problème d'optimisation non convexe sous contrainte. Nous montrons que tout minimum local de la fonction de coût donne une factorisation exacte de la matrice de moyenne. En contraignant les matrices de facteur à être comme les matrices de consensus basées sur la matrice laplacienne, il est maintenant bien connu que la factorisation de la matrice de moyenne est entièrement caractérisé par les valeurs propres non nulles du laplacien. Par conséquent, la résolution de la factorisation de la matrice de la moyenne de manière distribuée avec une telle contrainte sur la matrice laplacienne, permet d'estimer le spectre de la matrice laplacienne. Depuis le spectre peut être utilisé pour calculer des indices de la robustesse (Nombre d'arbres couvrant et la résistance effective du graphe), la deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'évaluation de la robustesse du réseau à travers l'estimation distribuée du spectre du Laplacien. Le problème est posé comme un problème de consensus sous contrainte formulé de deux façons différentes. La première formulation (approche directe) cède à un problème d'optimisation non-convexe résolu de manière distribuée au moyen de la méthode des multiplicateurs de Lagrange. La seconde formulation (approche indirecte) est obtenue après une reparamétrisation adéquate. Le problème est alors convexe et résolu en utilisant l'algorithme du sous-gradient distribué et la méthode de direction alternée de multiplicateurs. En outre, trois cas sont considérés: la valeur moyenne finale est parfaitement connue, bruyant, ou complètement inconnue. Nous fournissons également une façon pour calculer les multiplicités des valeurs propres estimées au moyen d'une programmation linéaire en nombres entiers. L'efficacité des solutions proposées est évaluée au moyen de simulations. Cependant, dans plusieurs cas, la convergence des algorithmes proposés est lente et doit être améliorée dans les travaux futurs. En outre, l'approche indirecte n'est pas évolutive pour des graphes de taille importante car elle implique le calcul des racines d'un polynôme de degré égal à la taille du réseau. Cependant, au lieu d'estimer tout le spectre, il peut être possible de récupérer seulement un petit nombre des valeurs propres, puis déduire des limites significatives sur les indices de la robustesse.


  • Résumé

    Consensus of Multi-agent systems has received tremendous attention during the last decade. Consensus is a cooperative process in which agents interact in order to reach an agreement. Most of studies are committed to analysis of the steady-state behavior of this process. However, during the transient of this process a huge amount of data is produced. In this thesis, our aim is to exploit data produced during the transient of asymptotic average consensus algorithms in order to design finite-time average consensus protocols, assess the robustness of the graph, and eventually recover the topology of the graph in a distributed way. Finite-time Average Consensus guarantees a minimal execution time that can ensure the efficiency and the accuracy of sophisticated distributed algorithms in which it is involved. We first focus on the configuration step devoted to the design of consensus protocols that guarantee convergence to the exact average in a given number of steps. By considering networks of agents modelled with connected undirected graphs, we formulate the problem as the factorization of the averaging matrix and investigate distributed solutions to this problem. Since, communicating devices have to learn their environment before establishing communication links, we suggest the usage of learning sequences in order to solve the factorization problem. Then a gradient backpropagation-like algorithm is proposed to solve a non-convex constrained optimization problem. We show that any local minimum of the cost function provides an accurate factorization of the averaging matrix. By constraining the factor matrices to be as Laplacian-based consensus matrices, it is now well known that the factorization of the averaging matrix is fully characterized by the nonzero Laplacian eigenvalues. Therefore, solving the factorization of the averaging matrix in a distributed way with such Laplacian matrix constraint allows estimating the spectrum of the Laplacian matrix. Since that spectrum can be used to compute some robustness indices (Number of spanning trees and Effective graph Resistance also known as Kirchoff index), the second part of this dissertation is dedicated to Network Robustness Assessment through distributed estimation of the Laplacian spectrum. The problem is posed as a constrained consensus problem formulated in two ways. The first formulation (direct approach) yields a non-convex optimization problem solved in a distributed way by means of the method of Lagrange multipliers. The second formulation (indirect approach) is obtained after an adequate re-parameterization. The problem is then convex and solved by using the distributed subgradient algorithm and the alternating direction method of multipliers. Furthermore, three cases are considered: the final average value is perfectly known, noisy, or completely unknown. We also provide a way for computing the multiplicities of the estimated eigenvalues by means of an Integer programming. In this spectral approach, given the Laplacian spectrum, the network topology can be reconstructed through estimation of Laplacian eigenvector. The efficiency of the proposed solutions is evaluated by means of simulations. However, in several cases, convergence of the proposed algorithms is slow and needs to be improved in future works. In addition, the indirect approach is not scalable to very large graphs since it involves the computation of roots of a polynomial with degree equal to the size of the network. However, instead of estimating all the spectrum, it can be possible to recover only a few number of eigenvalues and then deduce some significant bounds on robustness indices.

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