Étude de la stabilité de quelques systèmes d'équations des ondes couplées sur des domaines bornés et non bornés

Study of the stability of a certain systems of coupled wave equations and of the Rayleigh beam equation on bounded and unbounded domains

• Auteur / Autrice : Maya Bassam
• Direction : Serge Nicaise, Ali Wehbe
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/12/2014
• Etablissement(s) : Valenciennes en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et leurs applications de Valenciennes (2006-2021) - Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes
• Partenaire(s) de recherche : Communauté d'Universités et Etablissements (ComUE) : Communauté d'universités et d'établissements Lille Nord de France (2009-2013)
• Jury : Président / Présidente : Abdelaziz Soufyane
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serge Nicaise, Ali Wehbe, Assia Benabdallah, Denis Mercier, Zaynab Salloum
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Assia Benabdallah

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes hyperboliques

Spectroscopie

Équations d'onde

Mots clés libres

Système de Timoshenko

Stabilité forte

Analyse spectrale

Stabilité polynomiale

Equation de la poutre de Rayleigh

Fonction de transfert.

Timoshenko system

Strong stability

Spectral analysis

Polynomial stability

Rayleigh beam equation

Transfert function .

Résumé

La thèse est portée essentiellement sur la stabilisation indirecte d’un système de deux équations des ondes couplées et sur la stabilisation frontière de poutre de Rayleigh.Dans le cas de la stabilisation d’un système d’équations d’onde couplées, le contrôle est introduit dans le système directement sur le bord du domaine d’une seule équation dans le cas d’un domaine borne ou à l’intérieur d’une seule équation mais dans le cas d’un domaine non borné. La nature du système ainsi couplé dépend du couplage des équations et de la nature arithmétique des vitesses de propagations, et ceci donne divers résultats pour la stabilisation polynomiale ainsi la non stabilité.Dans le cas de la stabilisation de poutre de Rayleigh, l’équation est considérée avec un seul contrôle force agissant sur bord du domaine. D’abord, moyennant le développement asymptotique des valeurs propres et des vecteurs propres du système non contrôlé, un résultat d’observabilité ainsi qu’un résultat de bornétude de la fonction de transfert correspondant sont obtenus. Alors, un taux de décroissance polynomial de l’énergie du système est établi. Ensuite, moyennant une étude spectrale combinée avec une méthode fréquentielle, l’optimalité du taux obtenu est assurée.

The thesis is driven mainly on indirect stabilization system of two coupled wave equations and the boundary stabilization of Rayleigh beam equation. In the case of stabilization of a coupled wave equations, the Control is introduced into the system directly on the edge of the field of a single equation in the case of a bounded domain or inside a single equation but in the case of an unbounded domain. The nature of thus coupled system depends on the coupling equations and arithmetic Nature of speeds of propagation, and this gives different results for the polynomial stability and the instability. In the case of stabilization of Rayleigh beam equation, we consider an equation with one control force acting on the edge of the area. First, using the asymptotic expansion of the eigenvalues and vectors of the uncontrolled system an observability result and a result of boundedness of the transfer function are obtained. Then a polynomial decay rate of the energy of the system is established. Then through a spectral study combined with a frequency method, optimality of the rate obtained is assured.