Etude qualitative d’un système parabolique-elliptique de type keller-segel et de systèmes elliptiques non-coopératifs.

Qualitative study of a parabolic-elliptic Keller-Segel system and of noncooperative elliptic systems

• Auteur / Autrice : Alexandre Montaru
• Direction : Philippe Souplet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/09/2014
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Jean Dolbeault
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Benoît Perthame, Lucilla Corrias, Philippe Laurençot, Dong Ye, Hatem Zaag
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thomas Bartsch, Benoît Perthame

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Équations aux dérivées partielles -- Théorie asymptotique

Chimiotaxie

Analyse des systèmes

Systèmes, Théorie des

Mots clés libres

Modèle de Keller-Segel

Keller-Segel model

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de deux problèmes : D'une part, nous considérons un système parabolique-elliptique de type Patlak-Keller-Segel avec sensitivité de type puissance et exposant critique. Nous étudions les solutions radiales de ce système dans une boule de l'espace euclidien et obtenons des résultats d'existenceunicité, de régularité ainsi qu'une alternative d'explosion. Concernant le comportement qualitatif en temps long des solutions radiales, pour toute dimension d'espace supérieure ou égale à trois, nous montrons un phénomène de masse critique qui généralise le cas déjà connu de la dimension deux mais présente par rapport à celui-ci un comportement très différent dans le cas de la masse critique. Dans le cas d'une masse sous-critique, pour toute dimension d'espace supérieure ou égale à deux, nous montrons de plus que les densités de cellule convergent uniformément à vitesse exponentielle vers l'unique solution stationnaire. D'autre part, nous étudions des systèmes elliptiques non coopératifs. Dans le cas de l'espace ou d'un demi-espace (ou même d'un cône), sous une hypothèse de structure naturelle sur les non-linéarités, nous donnons des conditions suffisantes pour avoir la proportionnalité des composantes, ce qui permet de ramener l'étude à celle d'une équation scalaire et ainsi d'obtenir des résultats de classification et de type Liouville pour le système. Dans le cas d'un domaine borné, la méthode de renormalisation de Gidas et Spruck permet d'obtenir une estimation a priori des solutions bornées et finalement de déduire l'existence d'une solution non triviale.

This thesis is concerned with the study of two problems : On the one hand, we consider a parabolic-elliptic system of Patlak-Keller-Segeltype with a critical power type sensitivity. We study the radially symmetric solutions of this system on a ball of the euclidean space and obtain wellposedness and regularity results together with a blow-up alternative. As for the long time qualitative behaviour of the radial solutions, for any space dimension greater or equal to three, we show that a critical mass phenomenon occurs, which generalizes the wellknown case of dimension two but, with respect to the latter, with a very different qualitative behaviour in the case of the critical mass. When the mass is subcritical, we moreover show that the cell density converges uniformly with exponential speed toward the unique steady state. This result is valid for any space dimension greater or equal to two, which was, to our knowledge, not known even for the most studied case of dimension two. On the other hand, we study noncooperative (semilinear and fully nonlinear) elliptic systems. In the case of the whole space or of a half-space (or even for a cone), under a natural structure condition on the nonlinearities, we give sufficient conditions to have proportionnality of the components, which allows to reduce the system to a scalar equation and then to get classification and Liouville type results. In the case of a bounded domain, thanks to the obtained Liouville type theorems, the blow-up method of Gidas and Spruck then allows to get an a priori estimate on the bounded solutions and eventually to deduce the existence of a non trivial solution by a topological method using the degree theory.