PGD espace-temps adaptée pour le traitement de problèmes paramétrés

Time-space PGD for solving parameterized problems

• Auteur / Autrice : Christophe Heyberger
• Direction : Pierre-Alain Boucard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique, génie mécanique, génie civil
• Date : Soutenance le 01/04/2014
• Etablissement(s) : Cachan, Ecole normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pratiques (1998-2015 ; Cachan, Val-de-Marne)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Villon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jayant Sen Gupta, David Néron
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Dureisseix, Pierre Joyot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Simulation, Méthodes de

Décomposition (méthode mathématique)

Mots clés libres

Problème paramétré

Réduction de modèle

Parametrized problem

Proper generalized decomposition

Model reduction

Résumé

Cette thèse s'intéresse à la question récurrente qu'est la résolution d'un problème pour un grand nombre de configurations différentes. Malgré l'augmentation constante de la puissance de calcul que l'on connait aujourd'hui, le traitement direct d'un tel problème reste souvent hors de portée. La technique qui est développée ici est basée sur l'utilisation de la Proper Generalized Decomposition (PGD) dans le cadre de la méthode LATIN. On étudie tout d’abord la capacité de cette technique de réduction de modèle à résoudre un problème paramétré pour un espace de conception donné. Lors du traitement d’un tel problème, on génère une base réduite que l’on peut réutiliser et éventuellement enrichir en traitant un par un les problèmes correspondants aux jeux de paramètres étudiés. Le but devient alors de développer une stratégie, inspirée par la méthode « Reduced Basis », afin d’explorer de façon rationnelle l’espace des paramètres. L’objectif étant de construire, avec le minimum de résolutions, une base réduite « complète » qui permet de résoudre tous les autres problèmes de l’espace de conception sans enrichir cette base. On commence dès lors par montrer l’existence d’une telle base complète en extrayant les informations les plus pertinentes des solutions PGD d’un problème pour tous les jeux de paramètres de l’espace de conception. On propose ensuite une stratégie rationnelle pour construire cette base complète sans la nécessité préalable de la résolution du problème pour tous les jeux de paramètres. Enfin, les performances de la méthode proposée sont illustrées sur plusieurs exemples, montrant des gains conséquents lorsque des études récurrentes doivent être menées.

This thesis deals with the recurring question of the resolution of a problem for many different configu- rations, which can lead to highly expensive computations when using a direct treatment. The technique which is presented here is based on the use of Proper Generalized Decomposition (PGD) in the framework of the LATIN method. The feasibility of this model reduction technique approach is studied to compute the solution of a parametrized problem for a given space of parameters. For that purpose, a Reduced-Order Basis is generated, reused and eventually enriched, by treating, one-by-one, all the various parameter sets. The aim is to develop a strategy, inspired by the Reduced Basis method, to explore rationally the space of parameters. Then, the objective is to build, with the minimum of resolutions, a ‘‘complete’’ basis that enables to solve all the other problems without enriching the basis. We first exemplify the existence of a such complete basis by extracting the most relevant information from the PGD solutions of the problem for all the sets in the space of parameters. Secondly, we propose a rational strategy to build this complete basis without preliminary solving the problem for all the sets of parameters. Finally, the capabilities of the proposed method are illustrated through a variety of examples, showing substantial gains when recurrent studies need to be carried out.